DM 02 2nde 03 des équations : le corrigé

Equations...

Exercice 1 : A partir de XCAS.

On donne: \[A(x)=((x-1)(2x+3)+2(x-1)(x-4))\]

  1. Justifier les résultats suivants, obtenu à l'aide du logiciel de calcul formel Xcas
    • Première ligne : on développe
    • \begin{align*} A(x) &=((x-1)(2x+3)+2(x-1)(x-4))\\ & = 2x^2+3x-2x-3+2(x^2-4x-x+4) \\&= 2x^2+x-3+2x^2-10x+8 \\ &= 4x^2 -9x+5 \\ \end{align*}
    • Deuxième ligne : on factorise \begin{align*} A(x) &=(x-1)(2x+3)+2(x-1)(x-4)\\ & =(x-1)[(2x+3)+2(x-4)] \\&= (x-1)[2x+3+2x-8] \\ &= (x-1)(4x-5) \\ \end{align*}
  2. En s'aidant des résultats trouvés à la question précédente résoudre les équations suivantes: \begin{align*} A(x)&=0\\ A(x)&=5 \end{align*}
  3. \begin{align*} A(x) =0& \Leftrightarrow (x-1)(4x-5)=0 \\& \Leftrightarrow (x-1)=0 \text{ ou } (4x-5)=0 \\ &\Leftrightarrow x =1 \text{ ou } 4x=5 \\ &\Leftrightarrow x =1 \text{ ou } x=\dfrac{5 }{4} \\ \end{align*}
    \(\mathcal{S}=\{1; \dfrac{5 }{4}\}\)
    \begin{align*} A(x) =5& \Leftrightarrow 4x^2 -9x+5=5 \\ & \Leftrightarrow 4x^2 -9x = 0\\ & \Leftrightarrow x(4x -9) = O\\ & \Leftrightarrow x=0 \text{ ou } (4x-9)=0 \\ &\Leftrightarrow x =0 \text{ ou } 4x=9 \\ &\Leftrightarrow x =10 \text{ ou } x=\dfrac{9 }{4} \\ \end{align*}
    \(\mathcal{S}=\{0; \dfrac{9 }{4}\}\)

Exercice 2 : On utilise GeoGebra !

On veut résoudre l'équation : \[ (2x-4)^3=(2x-4) \]

  1. Représenter graphiquement à l'aide du logiciel GeoGebra les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \[ f (x)=(2x-4)^3 \; \text{ et } g(x)=2x-4\]

  2. Résoudre graphiquement l'équation \(f(x)=g(x)\).
  3. Les solutions de l'équation \(f(x)=g(x)\) sont les abscisses des points d'intersection de \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_f\). On lit donc
    \(\mathcal{S}=\{1,5; 2;2,5\}\)
  4. Retrouver ce résultat en factorisant l'équation : \[ (2x-4)^3=(2x-4) . \]

\begin{align*} (2x-4)^3=(2x-4) &\Leftrightarrow (2x-4)^3-(2x-4)=0 \\ &\Leftrightarrow (2x-4) \times (2x-4)^2-(2x-4)\times 1 =0\\ &\Leftrightarrow(2x-4)[(2x-4)^2-1]=0\\ &\Leftrightarrow(2x-4)[(2x-4)^2-1^2]=0\\ &\Leftrightarrow(2x-4)[(2x-4) -1][(2x-4) +1]=0\\ &\Leftrightarrow(2x-4)(2x-5) (2x-3) =0\\ &\Leftrightarrow (2x-4)=0 \text{ ou } (2x-5)=0 \text{ ou } (2x-3)=0 \\ &\Leftrightarrow 2x =4 \text{ ou } 2x=5 \text{ ou } 2x=3 \\ &\Leftrightarrow x =2 \text{ ou } x=\dfrac{5 }{2} \text{ ou } x=\dfrac{3 }{2} \\ \end{align*}

\(\mathcal{S}=\{2; \dfrac{5 }{2}; \dfrac{3 }{2}\}\)

 

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