DM 01 2nde 3 Un problème, une fonction le corrigé

Un problème -- Une fonction

On considère un quart de cercle \(\mathcal{C}\) de rayon \(OI=1\). \(M\) est un point quelconque de ce quart de cercle. \(H\) est le pied de la hauteur issue de \(M\) dans le triangle \(IMO\). Le problème consiste à déterminer où placer \(M\) pour avoir l'aire du triangle \(OHM\) maximale. On note \(x\) la longueur \(OH\) et \(h\) la longueur \(HM\).

  1. Quelles sont les valeurs possibles pour \(x\) ?
  2. \(x\) est l'abscisse du point \(H\) qui décrit le segment \([OI]\),
    Les valeurs possibles de \(x\) sont celles de l'intervalle \([0;1]\)
  3. Exprimer la longueur \(h\) en fonction de \(x\).
  4. Le triangle \(OHM\) est rectangle en \(H\), d'après le théorème de Pythagore:
    \(OH^2+HM^2=OM^2\)  soit  \(x^2+h^2=1\)
    Ainsi \(h^2=1-x^2\),
    \(h=\sqrt{1-x^2}\)
  5. Soit \(f\) la fonction qui à \(x\) associe l'aire du triangle \(OMH\).
    Démontrer que : \[f(x)=\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2} \]
  6. L'aire d'un triangle vaut \[Aire= \dfrac{OH \times HM}{2}\]\[Aire(OHM)= \dfrac{Base \times Hauteur}{2}=\dfrac{x \times h}{2}=\dfrac{x\sqrt{1-x^2}}{2} \text{ car } h=\sqrt{1-x^2}\]
    L'aire du triangle \(OMH\) est donc définie par \[f(x)=\dfrac{x\sqrt{1-x^2}}{2} \]
  7. Recopier puis compléter le tableau ci-dessous. \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,4 & 0,5 & 0,6 & 0,7 & 0,8 & 0,9 & 0,95 & 1 \\ \hline f(x) & & & & & & & & & & & & \\ \hline \end{array} On arrondira les valeurs de \(f(x)\) à \(10^{-2}\) près.
  8. \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,4 & 0,5 & 0,6 & 0,7 & 0,8 & 0,9 & 0,95 & 1 \\ \hline f(x) & 0 & 0,05& 0,10& 0,14& 0,18& 0,22& 0,24& 0,25& 0,24& 0,20&  0, 15 & 0\\ \hline \end{array}\]
  9. Tracer la représentation graphique \(\mathcal{C}_f\) de la fonction \(f\) dans un repère (unités graphiques : en abscisse 10 cm pour une unité ; en ordonnée 20 cm pour une unité).
  10. Déterminer graphiquement le maximum de \(f\). Interpréter cette valeur.
  11. D'après le graphique l'aire du triangle semble maximale pour \(x\approx 0,7\), le maximum de l'aire est environ 0,25 unité d'aire.

 

 

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