DM 01 2nde 3 Un problème, une fonction

Un problème -- Une fonction

On considère un quart de cercle \(\mathcal{C}\) de rayon \(OI=1\). \(M\) est un point quelconque de ce quart de cercle. \(H\) est le pied de la hauteur issue de \(M\) dans le triangle \(IMO\). Le problème consiste à déterminer où placer \(M\) pour avoir l'aire du triangle \(OHM\) maximale. On note \(x\) la longueur \(OH\) et \(h\) la longueur \(HM\).

  1. Quelles sont les valeurs possibles pour \(x\) ?
  2. Exprimer la longueur \(h\) en fonction de \(x\).
  3. Soit \(f\) la fonction qui à \(x\) associe l'aire du triangle \(OMH\).
    Démontrer que : \[f(x)=\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2} \]
  4. Recopier puis compléter le tableau ci-dessous. \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,4 & 0,5 & 0,6 & 0,7 & 0,8 & 0,9 & 0,95 & 1 \\ \hline f(x) & & & & & & & & & & & & \\ \hline \end{array} On arrondira les valeurs de \(f(x)\) à \(10^{-2}\) près.
  5. Tracer la représentation graphique \(\mathcal{C}_f\) de la fonction \(f\) dans un repère (unités graphiques : en abscisse 10 cm pour une unité ; en ordonnée 20 cm pour une unité).
  6. Déterminer graphiquement le maximum de \(f\). Interpréter cette valeur.

 

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