Déterminer la nature d'un triangle à l'aide des coordonnées

Fiche méthode

Déterminer la nature d’un triangle à l’aide des coordonnées

Le but : déterminer si le triangle est quelconque, isocèle, rectangle, rectangle isocèle ou équilatéral

Comment : on va déterminer la longueur des côtés à l’aide de la propriété suivante :

Propriété : Dans un plan muni d’un repère orthonormé \((O;I,J)\), on considère les points \(A\left(x_A,y_A\right)\) et \(B\left(x_B,y_B\right)\).
La longueur du segment \([AB]\) est alors définie par \(AB = \sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2 + \left(y_B-y_A\right)^2}\).

Exemple : Dans un repère \((O;I,J)\) on donne les points suivants :
\(A(-8;0)\), \(B(3;3)\) et \(C(2;-2)\)
Quelle est la nature du triangle \(ABC\)?

Calculons les longueurs des trois côtés du triangle.

\(\begin{align*} AB^2 &= \left(3-(-8)\right)^2 + (3-0)^2 \\\\
&=11^2+3^2 \\\\
&=121+9\\\\
& = 130\\\\
AB&=\sqrt{45}\end{align*}\)

\(\quad\)

\(\begin{align*} AC^2 &= \left((2-(-8)\right)^2 + (-2-0)^2 \\\\
&= 10^2 + (-2)^2\\\\
&= 100+4\\\\
&=104\\\\
AC&=\sqrt{104}
\end{align*}\)

\(\quad\)

\(\begin{align*} BC^2&=(2-3)^2+(-2-3)^2 \\\\
&= (-1)^2+(-5)^2\\\\
&=1+25\\\\
&=26\\\\
BC&=\sqrt{26}
\end{align*}\)

\(\quad\)

On constate donc qu’aucun côté n’a la même longueur. Le triangle \(ABC\) n’est donc ni isocèle ni équilatéral. Regardons s’il est rectangle.

Le plus grand côté est \([AB]\).
D’une part \(AB^2 = 130\)
D’autre part \(AC^2+BC^2 = 104 + 26 = 130\)
Par conséquent \(AB^2=AC^2+BC^2\)
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\).

 

 

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