Déterminer les coordonnées du 4ème sommet d'un parallélogramme
Fiche méthode
Déterminer les coordonnées du 4ème sommet d’un parallélogramme
Le but : On connait les coordonnées de trois sommets d’un parallélogramme. On veut déterminer les coordonnées du dernier sommet.
Comment : On va déterminer les coordonnées du milieu des diagonales et les utiliser pour trouver celles du sommet manquant.
Pour cela on va utiliser la propriété suivante :
Les coordonnées de \(M\) sont alors \(\begin{cases} x_M = \dfrac{x_A+x_B}{2} \\\\y_M = \dfrac{y_A+y_B}{2} \end{cases}\).
Exemple : Dans un repère \((O;I,J)\) on donne les points suivants :
\(A(-1;1)\), \(B(0;-2)\) et \(C(4;-3)\). Le point \(D\) est tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme.
On appelle \(M\left(x_M;y_M\right)\) le milieu de la diagonale \([AC]\).
On a ainsi : \(\begin{cases} x_M = \dfrac{-1 + 4}{2} = \dfrac{3}{2} \\\\y_M=\dfrac{1 + (-3)}{2} = -1 \end{cases}\)
Puisque \(ABCD\) est un parallélogramme, ses diagonales se coupent en leur milieu.
Par conséquent \(M\) est aussi le milieu de \([BD]\).
\(\begin{cases} x_M = \dfrac{x_B+x_D}{2} \\\\y_M=\dfrac{y_B+y_D}{2} \end{cases}\)
On remplace les coordonnées connues par leur valeur.
\(\begin{cases} \dfrac{3}{2} = \dfrac{0 + x_D}{2} \\\\-1 = \dfrac{-2 + y_D}{2} \end{cases}\)
Il ne nous reste plus alors qu’à résoudre chacune des équations :
\[\begin{array}{rclcrcl}
\dfrac{3}{2} &=& \dfrac{0+x_D}{2} & \text{et} & -1& =& \dfrac{-2+y_D}{2} \\\\
3 &=& x_D & & -2 &=& -2 +y_D \\\\
& & & & 0 &=& y_D
\end{array}\]
Ainsi \(D(3;2)\)
On vérifie ensuite sur un graphique que les coordonnées trouvées, pour \(M\) et \(D\), sont correctes.
