Vecteurs

Les vecteurs (1/2)

I Translation et vecteurs

Défintion 1 : Soit \(A\) et \(B\) deux points du plan.
On appelle translation de \(A\) en \(B\) la transformation qui à tout point \(C\) du plan associe le point \(D\) tel que les segments \([AC]\) et \([BD]\) aient le même milieu.
On dit alors qu’il s’agit de la translation de vecteur \(\vec{AB}\).

Remarque : Parler de la translation de vecteur \(\vec{AB}\) ou de celle de vecteur \(\vec{BA}\) n’est pas la même chose.

Si Le point \(C\) n’appartient pas à la droite \((AB)\)
2nd - cours - vecteurs1 - fig1

Si le point \(C\) appartient à la droite \((AB)\)
2nd - cours - vecteurs1 - fig2

Remarque : Le vecteur \(\vec{AB}\) fournit ainsi 3 éléments
  1. Le support : la droite \((AB)\)
  2. Le sens : de \(A\) vers \(B\)
  3. La longueur : \(AB\)
Propriété 1 : Si \(D\) est l’image de \(C\) par la translation de vecteur \(\vec{AB}\) alors \(ABDC\) est un parallélogramme, éventuellement aplati.
Preuve Propriété 1

De part la définition de la translation de vecteur \(\vec{AB}\), les diagonales du quadrilatère \(ABDC\) se coupent en leur milieu. Il s’agit donc d’un parallélogramme.

 

Définition 2 : Soit \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) quatre points du plan.
On dit que \(\vec{AB} = \vec{CD}\) si la translation qui transforme \(A\) en \(B\) transforme également \(C\) en \(D\).

2nd - cours - vecteurs1 - fig3

Il existe par conséquent une infinité de vecteurs égaux : il suffit de choisir un point du plan et de construire son image par la translation d’un vecteur donné. Il n’y a donc pas unicité d’un vecteur. On parle alors de représentant d’un vecteur et plutôt que de prendre des points du plan on va souvent utiliser la notation \(\vec{u}\) pour désigner un représentant d’un vecteur donné.

 

2nd - cours - vecteurs1 - fig4

Vous pouvez bouger les différents points.

Propriété 2 : Soit \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) quatre points du plan.
\(\vec{AB} = \vec{CD}\) si, et seulement si, \(ABDC\) est un parallélogramme.
Preuve Propriété 2
  • Si \(\vec{AB} = \vec{CD}\).
    La translation qui transforme \(A\) en \(B\) transforme également \(C\) en \(D\).
    D’après la définition de la translation, \([AD]\) et \([BC]\) ont alors le même milieu.
    Le quadrilatère \(ABDC\) est donc un parallélogramme.
    \(\quad\)
  • Réciproquement, si \(ABDC\) est un parallélogramme.
    Les diagonales \([AD]\) et \([BC]\) se coupent en leur milieu.
    Par conséquent la translation qui transforme \(A\) en \(B\) transforme également \(C\) en \(D\).
    Donc \(\vec{AB} = \vec{CD}\).

 

 

Remarque : Cette propriété est très utile pour montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme.
Propriété 3 : Soit \(A\), \(B\) et \(I\) trois points du plan.
\(I\) est le milieu de \([AB]\) si, et seulement si, \(\vec{AI} = \vec{IB}\).

2nd - cours - vecteurs1 - fig5.1

Définition 3 : La translation qui transforme tout point \(M\) du plan en lui même est appelée translation de vecteur nul, noté \(\vec{0}\).
Propriété 4 : Soit \(A\) et \(B\) deux points du plan.
\(\vec{AB} = \vec{0}\) si, et seulement si, \(A = B\).

Remarque : On a ainsi \(\vec{AA} = \vec{BB} = \vec{CC} = \ldots = \vec{0}\)

Définition 4 : On appelle vecteur opposé au vecteur \(\vec{AB}\) le vecteur associé à la translation qui transforme \(A\) en \(B\). On le note \(-\vec{AB}\).

2nd - cours - vecteurs1 - fig6

Remarque : On a donc \(\vec{BA} = -\vec{AB}\).
Le vecteur \(-\vec{AB}\) a donc le même support et la même longueur que \(\vec{AB}\) mais ils sont de sens contraire.

II Somme de vecteurs

Définition 4 : Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan.
On définit la somme des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), notée \(\vec{u}+\vec{v}\), comme le vecteur associé à la translation correspondant à la translation de vecteur \(\vec{u}\) suivie de la translation de vecteur \(\vec{v}\).

2nd - cours - vecteurs1 - fig7.1

Remarque : L’ordre dans lequel on effectue la somme n’a pas d’importance. Ainsi \( \vec{u}+\vec{v} = \vec{v}+\vec{u}\).

Définition 5 : Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan.
On définit la différence des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), notée \(\vec{u}-\vec{v}\), comme le vecteur associée à la translation correspondant à la translation de vecteurs \(\vec{u}\) suivie de la translation de vecteur \(-\vec{v}\).

2nd - cours - vecteurs1 - fig8

Remarque : La somme (ou la différence) n’est pas limitée à deux vecteurs. On étend ainsi la définition à autant d’opérations que l’on souhaite.

Propriété 5 : Soit \(A\), \(B\) et \(I\) trois points du plan.
\(I\) est le milieu de \([AB]\) si, et seulement si, \(\vec{IA}+\vec{IB}=\vec{0}\).
Preuve Propriété 5

\(I\) est le milieu de \([AB]\)
\(\quad\) si, et seulement si, \(\vec{AI} = \vec{IB}\)
\(\quad\) si, et seulement si, \(-\vec{IA} = \vec{IB}\)
\(\quad\) si, et seulement si, \(\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}\)

 

2nd - cours - vecteurs1 - fig9

 

Propriété 6 : (Relation de Chasles) Soit \(A\), \(B\) et \(C\) trois points du plan.
\[\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\]
Preuve Propriété 6

\(B\) est l’image de \(A\) par la translation de vecteur \(\vec{AB}\).
\(C\) est l’image de \(B\) par la translation de vecteur \(\vec{BC}\).
Par conséquent \(C\) est l’image de \(A\) par la translation de vecteur \(\vec{AB}+\vec{BC}\).
Par conséquent \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\).

 

2nd - cours - vecteurs1 - fig10.1

Propriété 7 : (règle du parallélogramme) Soit \(A\), \(B\) et \(C\) trois points du plan.
On appelle \(D\) le point tel que \(\vec{AD} = \vec{AB}+\vec{AC}\).
Alors \(ABDC\) est un parallélogramme.

2nd - cours - vecteurs1 - fig11

 

Les vecteurs (2/2)

I Coordonnées d’un vecteur

Dans tous ce chapitre on se placera dans un repère \((O;I,J)\).

On considère un vecteur \(\vec{u}\) du plan. Il existe alors un unique point \(M\left(x_M;y_m\right)\) tel que \(\overrightarrow{OM}=\vec{u}\).

Définition 1 : Les coordonnées du vecteurs \(\vec{u}\) sont celles du point \(M\).

2nd-cours-vecteurs2-2-fig1 (1)

Sur cet exemple, le point \(M\) a pour coordonnées \((2;1)\) donc les coordonnées de \(\vec{u}\) sont \((2;1)\).

Remarques :

  • Les coordonnées du vecteur nul \(\vec{0}\) sont \((0;0)\);
  • Suivant les enseignants et les manuels les coordonnées des vecteurs sont écrites horizontalement \((x;y)\) ou verticalement \(\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}\);
  • On appelle \(\vec{i}\) le vecteur \(\overrightarrow{OI}\) et \(\vec{j}\) le vecteur \(\overrightarrow{OJ}\). On peut ainsi appeler le repère \((O;I,J)\) le repère \((O;\vec{\imath},\vec{\jmath})\).
Propriété 1 : Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, leurs coordonnées respectives sont égales.

Ainsi si on considère les vecteurs \(\vec{u}(x;y)\) et \(\vec{v}(x’;y’)\) alors \(\vec{u}=\vec{v} \Leftrightarrow \begin{cases} x=x’\\y=y’\end{cases}\)

Intéressons-nous maintenant aux coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) quand on connait les coordonnées des points \(A\) et \(B\).

Propriété 2 : On considère les points \(A\left(x_A;y_A\right)\) et \(B\left(x_B;y_B\right)\) du plan. Alors les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) sont \(\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)\).
Preuve de la propriété 2

Il existe un unique point \(M\left(x_M;y_M\right)\) du plan tel que \(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AB}\).

2nd-cours-vecteurs2-2-fig2 (3)

Par conséquent \(OMBA\) est un parallélogramme dont les diagonales se coupent en leur milieu \(N\).

\(N\) est le milieu de \([OB]\) donc : \(\begin{cases} x_N=\dfrac{x_B+x_O}{2}=\dfrac{x_B}{2}\\\\y_N=\dfrac{y_B+y_O}{2}=\dfrac{y_B}{2} \end{cases}\).

\(N\) est aussi le milieu de \([AM]\) donc \(\begin{cases} x_N=\dfrac{x_A+x_M}{2}\\\\y_M=\dfrac{y_A+y_M}{2}\end{cases}\).

Donc \(\begin{cases} \dfrac{x_B}{2} = \dfrac{x_A+x_M}{2}\\\\ \dfrac{y_B}{2}=\dfrac{y_A+y_M}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_B=x_A+x_M\\\\ y_B=y_A+y_M \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_M=x_B-x_A\\\\ y_M=y_B-y_A \end{cases}\)

D’après la définition les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) sont celles du point \(M\).

Donc \(\overrightarrow{AB}\) sont \(\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)\)

 


\(\quad\)

Exemple : On considère les points \(A(-1;2)\) et \(B(4;3)\) alors :

\(\overrightarrow{AB}\left(4-(-1);3-2\right)\) soit \(\overrightarrow{AB}(5;1)\).

2nd-cours-vecteurs2-2-fig3

On constate que les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) correspondent aux déplacements horizontaux et verticaux en partant du point \(A\).

Cette propriété est, en fait, vraie pour tous les points \(A\) et \(B\).

Ainsi, sur le graphique ci-dessous, on peut lire que \(\overrightarrow{AB}(-3;2)\)

2nd-cours-vecteurs2-2-fig4

Cette remarque peut également servir à construire un représentant d’un vecteur donné à partir de ses coordonnées et d’un point du plan.

Exemple : On considère les points \(A(-1;2)\), \(B(3,-2)\) et \(C(2,1)\).
On cherche les coordonnées du point \(D\) tel que \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\).

D’une part \(\overrightarrow{AB}\left(3-(-1);-2-2\right)\) soit \(\overrightarrow{AB}(4;-4)\)

D’autre part \(\overrightarrow{CD}\left(x_D-2;y_D-1\right)\)

Les deux vecteurs étant égaux, on a alors : \(\begin{cases}x_D-2=4 \\\\ y_D-1=-4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_D=6 \\\\y_D=-3 \end{cases}\)

Ainsi on obtient \(D(6;-3)\)

2nd-cours-vecteurs2-2-fig5

On vérifie les calculs avec le graphique.

II Somme de deux vecteurs

Propriété 3 : On considère deux vecteurs \(\vec{u}(x;y)\) et \(\vec{v}(x’;y’)\). Alors le vecteur \(\vec{u}+\vec{v}\) a pour coordonnées \((x+x’;y+y’)\).

Exemple : Si \(\vec{u}(2;3)\) et \(\vec{v}(-1;4)\) alors \(\vec{u}+\vec{v}\) a pour coordonnées \(\left(2+(-1);3+4\right)\) soit \((1;7)\).

Retrouvons ces coordonnées sur un graphique :

2nd-cours-vecteurs2-2-fig6

On constate bien sur ce graphique que les coordonnées du vecteur somme \(\vec{u}+\vec{v}\) sont bien \((1;7)\).

III Produit d’un vecteur par un réel

D’après la propriété précédente on peut donc définir les vecteurs du type \(2\vec{u}\), \(3\vec{u}\), … comme les vecteurs dont les coordonnées sont le double, le triple, … de celles de \(\vec{u}\).

En généralisant à tous les réels, on obtient :

Propriété 4 : On considère un réel \(k\) et un vecteur \(\vec{u}(x;y)\) alors le vecteur \(k\vec{u}\) est le vecteur dont les coordonnées sont \((kx;ky)\).

Exemple : Si \(\vec{u}(2;-1)\) alors \(\dfrac{1}{2}\vec{u}\left(1;-\dfrac{1}{2}\right)\), \(5\vec{u}(10;-5)\), \(2,4\vec{u}(4,8;-2,4)\) et \(-2\vec{u}(-4;2)\).

2nd-cours-vecteurs2-2-fig7

On constate donc que les vecteurs \(\dfrac{1}{2}\vec{u}\), \(5\vec{u}\) ont le même sens que \(\vec{u}\) alors que \(-2\vec{u}\) et \(\vec{u}\) sont de sens contraire.

D’une manière générale :

 

Propriété 5 : On considère \(k\) un réel et \(\vec{u}\) un vecteur.

 

  • Si \(k>0\) alors \(\vec{u}\) et \(k\vec{u}\) sont de même sens;
  • Si \(k<0\) alors \(\vec{u}\) et \(k\vec{u}\) sont de sens contraire.

 

Propriété 6 : On considère les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) et les réels \(k\) et \(k’\).

 

  • \((k+k’)\vec{u}=k\vec{u}+k’\vec{u}\)
  • \(k\left(\vec{u}+\vec{v}\right)=k\vec{u}+k\vec{v}\)
  • \(k\left(k’\vec{u}\right)=(kk’)\vec{u}\)

IV Colinéarité

Définition 2 : Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont dits colinéaires s’il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u}=k\vec{v}\).

Remarques :

  • Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs du plan.
  • Les directions (ou supports) des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont donc parallèles.

 

Propriété 7 : On considère deux vecteurs \(\vec{u}(x;y)\) et \(\vec{v}(x’;y’)\).

 

  1. \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel \(k\) tel que \(\begin{cases} x’=kx \\\\y’=ky \end{cases}\).
  2. \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si, et seulement si, \(xy’-x’y=0\).

Exemples :

  • On considère \(\vec{u}(2;3)\) et \(\vec{v}(4;6)\). On a \(4=2\times 2\) et \(6=2\times 3\) alors \(\vec{v}=2\vec{u}\) et les deux vecteurs sont colinéaires.
  • On considère \(\vec{u}(2,5;-2,2)\) et \(\vec{v}(-7,5;6,6)\).
    \(2,5\times 6,6-(-2,2)\times (-7,5) = 16,5-16,5=0\).
    Les deux vecteurs sont donc colinéaires.
Propriété 8 : Deux droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles si, et seulement si, \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.

Exemple : On considère les points \(A(2;1)\), \(B(-1;3)\), \(C(3;4)\) et \(D(9;0)\).

D’une part \(\overrightarrow{AB}(-1-2;3-1)\) soit \(\overrightarrow{AB}(-3;2)\).

D’autre part \(\overrightarrow{CD}(9-3;0-4)\) soit \(\overrightarrow{CD}(6;-4)\).

Donc \(\overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{AB}\).

Les deux vecteurs sont donc colinéaires; les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont alors parallèles.

Propriété 9 : (application) Trois points \(A\), \(B\), et \(C\), sont alignés si, et seulement si, \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.

Remarque : Cela revient à dire que les droites \((AB)\) et \((AC)\) sont parallèles et possèdent un point en commun.

Exemple : On considère les points \(A(3;2)\), \(B(1;5)\) et \(C(2000;-2994)\).

D’une part \(\overrightarrow{AB}(1-3;5-2)\) soit \(\overrightarrow{AB}(-2;3)\)

D’autre part \(\overrightarrow{AC}(2000-3;-2994-2)\) soit \(\overrightarrow{AC}(1997;-2996)\).

Mais \(1997\times 3- (-2)\times (-2996) = 5991 -5992 = -1 \neq 0\).

Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont donc pas colinéaires; les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne par conséquent pas alignés.

Propriété 10 : (milieu) On considère trois points \(A\), \(B\) et \(M\).

\(M\) est le milieu de \([AB]\) si, et seulement si, \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).

Exemple : On considère les points \(A(6;1)\), \(B(1;3)\) et \(M(3,5;2)\).

D’une part \(\overrightarrow{AB}(1-6;3-1)\) soit \(\overrightarrow{AB}(-5;2)\)

D’autre part \(\overrightarrow{AM}(3,5-6;2-1)\) soit \(\overrightarrow{AB}(-2,5;1)\)

Par conséquent \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).

\(M\) est bien le milieu de \([AB]\).

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