Fonctions de référence

Fonctions de référence

I La fonction carré

Définition 1 : On appelle fonction carré la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x) = x^2\).

On obtient ainsi, par exemple, le tableau de valeurs suivant :

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-3&-2&-1&\phantom{-}0&\phantom{-}1&\phantom{-}2&\phantom{-}3 \\\\
\hline
f(x)&9&4&1&0&1&4&9\\\\
\hline
\end{array}\]

Propriété 1 : La fonction carré est décroissante sur \(]-\infty;0]\) et croissante sur \([0;+\infty[\).
Preuve Propriété 1

On appelle \(f\) la fonction carré.
Montrons tout d’abord que la fonction \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;0]\).

Soit \(u\) et \(v\) deux réels tels que \(u < v \le 0\). Nous allons étudier le signe de \(f(u) – f(v)\).

\(\begin{align*} f(u)-f(v) &=u^2-v^2 \\\\
&= (u-v)(u + v)
\end{align*}\)

Puisque \(u<v\) cela signifie que \(u-v < 0\).
Puisque \(u\) et \(v\) sont tous les deux négatifs, \(u+v <0\).
Par conséquent \((u-v)(u+v) >0\).
Donc \(f(u)-f(v) > 0\) et \(f(u) > f(v)\).

La fonction \(f\) est bien décroissante sur \(]-\infty;0]\).

Montrons maintenant que la fonction \(f\) est croissante sur \([0;+\infty[\).

Soit \(u\) et \(v\) deux réels tels que \(0 \le u < v\) .

\(\begin{align*} f(u)-f(v) &=u^2-v^2 \\\\
&= (u-v)(u + v)
\end{align*}\)

Puisque \(u<v\) cela signifie que \(u-v < 0\).
Puisque \(u\) et \(v\) sont tous les deux positifs, \(u+v >0\).
Par conséquent \((u-v)(u+v) <0\).
Donc \(f(u)-f(v) < 0\) et \(f(u) < f(v)\).

La fonction \(f\) est bien croissante sur \(]-\infty;0]\).

 

 

On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

2nd - cours - fonctions de référence - fig1

Définition 2 : Dans un repère \((O;I,J)\) la courbe représentative de la fonction carré est appelée parabole de sommet \(O\).

2nd - cours - fonctions de référence - fig2

 

Remarque : La représentation graphique de la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Propriété 2 : Soit \(a\) un réel.
  1. Si \(a > 0\), l’équation \(x^2 = a\) possède deux solutions : \(-\sqrt{a}\) et \(\sqrt{a}\).
  2. Si \(a= 0\), l’équation \(x^2 = a\) possède une unique solution \(0\).
  3. Si \(a < 0\), l’équation \(x^2 = a\) ne possède aucune solution réelle.

 

Preuve Propriété 2
  1. Puisque \(a > 0\), on peut écrire :
    \(\begin{align*} x^2 = a & \Leftrightarrow x^2 = \left(\sqrt{a}\right)^2 \\\\
    & \Leftrightarrow x^2- \left(\sqrt{a}\right)^2 = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \left(x- \sqrt{a}\right)\left(x + \sqrt{a}\right) = 0
    \end{align*}\)
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    \(x – \sqrt{a} = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt{a}\) \(\quad\) ou \(\quad\) \(x + \sqrt{a} = 0 \Leftrightarrow x = -\sqrt{a}\)
    Les solutions de l’équation \(x^2=a\) sont donc bien \(-\sqrt{a}\) et \(\sqrt{a}\).
  2. La seule solution de \(x^2 = 0\) est \(0\).
  3. Un carré est toujours positif.
    Or \(a<0\). Par conséquent l’équation \(x^2=a\) ne possède pas de solution.

 

 

II La fonction inverse

Définition 3 : On appelle fonction inverse la fonction \(f\) définie sur \(]-\infty;0[\cup]0;+\infty[\) par \(f(x) = \dfrac{1}{x}\).

On obtient ainsi, par exemple, le tableau de valeurs suivant :

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-3&-2&-1&\phantom{-}1&\phantom{-}2&\phantom{-}3 \\\\
\hline
f(x)&-\dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{2}&-1&1&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{3}\\\\
\hline
\end{array}\]

Propriété 3 : La fonction inverse \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;0[\) et sur \(]0;+\infty[\).
Preuve Propriété 3

\(\bullet\) Soient \(u\) et \(v\) deux réels tels que \(u<v<0\). Nous allons étudier le signe de \(f(u) – f(v)\).
\(\begin{align*} f(u)-f(v) & = \dfrac{1}{u}-\dfrac{1}{v} \\\\
&=\dfrac{v-u}{uv}
\end{align*}\)

Puisque \(u<v\) on a alors \(v-u>0\).
Les réels \(u\) et \(v\) sont tous les deux négatifs. Par conséquent \(uv > 0\).
Ainsi \(\dfrac{v-u}{uv} > 0\).
Par conséquent \(f(u)-f(v)>0\) et \(f(u)>f(v)\).
La fonction inverse est décroissante sur \(]-\infty;0[\).

\(\bullet\) Soient \(u\) et \(v\) deux réels tels que \(0<u<v\).
\(\begin{align*} f(u)-f(v) & = \dfrac{1}{u}-\dfrac{1}{v} \\\\
&=\dfrac{v-u}{uv}
\end{align*}\)

Puisque \(u<v\) on a alors \(v-u>0\).
Les réels \(u\) et \(v\) sont tous les deux positifs. Par conséquent \(uv > 0\).
Ainsi \(\dfrac{v-u}{uv} > 0\).
Par conséquent \(f(u)-f(v)>0\) et \(f(u)>f(v)\).
La fonction inverse est décroissante sur \(]0;+\infty[\).

 

 

On résume ces informations dans le tableau de variations suivant dans lequel la double barre verticale indique que la fonction inverse n’est pas définie en \(0\).

2nd - cours - fonctions de référence - fig3

Définition 4 : La courbe représentant la fonction inverse dans un repère \((O;I,J)\) est composée de deux branches d’hyperbole.

2nd - cours - fonctions de référence - fig4

Remarque : La représentation graphique de la fonction inverse est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Propriété 4 : Pour tout réel \(a\) non nul, l’équation \(\dfrac{1}{x} = a\) possède une unique solution \(\dfrac{1}{a}\).

III Résolution d’inéquations

Exemple 1 : On veut résoudre l’inéquation \(x^2 \le 4\).

  1. On trace la parabole.
  2. On trace la droite d’équation \(y=4\).
  3. On repère les points d’intersection et leurs abscisses : \(-2\) et \(2\).
  4. La solution de l’inéquation est l’ensemble des abscisses des points de la parabole situés sous la droite : \([-2;2]\).

2nd - cours - fonctions de référence - fig5

Exemple 2 : On veut résoudre l’inéquation \(x^2 > 9\)

  1. On trace la parabole.
  2. On trace la droite d’équation \(y=9\).
  3. On repère les points d’intersection et leurs abscisses : \(-3\) et \(3\).
  4. La solution de l’inéquation est l’ensemble des abscisses des points de la parabole situés strictement au-dessus de la droite : \(]-\infty;-3[\cup]3;+\infty[\).

2nd - cours - fonctions de référence - fig6

Exemple 3 : On veut résoudre l’inéquation \(\dfrac{1}{x} < 2\)

  1. On trace les deux branches d’hyperbole.
  2. On trace la droite d’équation \(y=2\).
  3. On repère le point d’intersection et son abscisse : \(\dfrac{1}{2}\).
  4. La solution de l’inéquation est l’ensemble des abscisses des points des branches d’hyperbole situés strictement sous la droite : \(]-\infty;0[\cup\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[\).

2nd - cours - fonctions de référence - fig7.1

Exemple 4 : On veut résoudre l’inéquation \(\dfrac{1}{x} \ge \dfrac{1}{4}\)

  1. On trace les deux branches d’hyperbole.
  2. On trace la droite d’équation \(y=\dfrac{1}{4}\).
  3. On repère le point d’intersection et son abscisse : \(4\).
  4. La solution de l’inéquation est l’ensemble des abscisses des points des branches d’hyperbole situés au-dessus de la droite : \(]0;4]\).

2nd - cours - fonctions de référence - fig8

 

Attention : Soyez bien attentif aux bornes des intervalles en tenant compte du signe de l’inégalité et de l’ensemble de définition de la fonction utilisée.

 

 

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