Equations de droites

 

Équations de droites

I Équations de droites

Dans cette partie, le plan est muni d’un repère \((O;I,J)\).

Propriété 1 : On considère une droite \(\mathscr{D}\) non parallèle à l’axe des ordonnées. Il existe alors deux réels \(a\) et \(b\) tels qu’une équation de \(\mathscr{D}\) soit \(y=ax+b\).
Preuve Propriété 1

Puisque \(\mathscr{D}\) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées, elle coupe cet axe en un point \(B\) de coordonnées \((0;b)\).

On appelle \(A\) le point de \(\mathscr{D}\) d’abscisse \(1\). On a ainsi \(A(1;y_A)\).
On appelle \(C\) le point de coordonnées \((1;b)\).
Le triangle \(ABC\) est donc rectangle en \(C\).

Soit \(M\) un point quelconque de la demi-droite \([BA)\). On appelle \((x;y)\) ses coordonnées.
On considère le point \(N\) de coordonnées \((x;b)\).
Le triangle \(MBN\) est donc rectangle en \(N\).

2nd - cours - équations de droites - fig0

Dans les triangles \(BMN\) et \(BAC\) on a :

  • \(C \in [BN]\) et \(A \in [BM]\)
  • Puisque les droites \((AC)\) et \((MN)\) sont perpendiculaires à \((BN)\) elles sont parallèles entre-elles.

D’après le théorème de Thalès, on a donc : \[\dfrac{BC}{BN}=\dfrac{BA}{BM} = \dfrac{AC}{MN}\]

Or \(BC = 1\), \(BN = x\), \(AC = y_A- b\) (dans cette configuration) et \(MN = y-b\) (dans cette configuration également)

On obtient ainsi \(\dfrac{1}{x} = \dfrac{BA}{BM} = \dfrac{y_A-b}{y-b}\)

Par conséquent \(\left(y_A-b \right)x = y-b\) \(\Leftrightarrow y = \left(y_A-b \right)x + b\)

On appelle \(a = y_A – b\) on obtient ainsi \(y=ax+b\)

Les autres configurations (\(a<0\) et/ou \(M\in [BA]\)) s’obtiennent de la même manière.

 

[collapse]

 

 

Remarque 1 : Si la droite \(\mathscr{D}\) passe par l’origine du repère alors \(b=0\)

Remarque 2 : La droite \(\mathscr{D}\) est donc l’ensemble des points \(M\) de coordonnées \((x;ax+b)\) pour tout réel \(x\).

Exemple : La droite \((AB)\) a pour équation \(y=-2x+3\)
2nd - cours - équations de droites - fig1

 

Tous les points de cette droite ont pour coordonnées \((x;-2x+3)\).

Définition 1 : Soit \(\mathscr{D}\) une droite dont une équation est \(y=ax+b\).
On dit alors que :
  • \(a\) est le coefficient directeur de la droite \(\mathscr{D}\)
  • \(b\) est l’ordonnée à l’origine de la droite \(\mathscr{D}\)

 

Le coefficient directeur d’une droite \((AB)\) est donc \(a=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x} = \dfrac{y_B- y_A}{x_B- x_A}\).

Exemple :

2nd - cours - équations de droites - fig3

\(A(1;-2)\) et \(B(4;2)\)
On a par conséquent \(\Delta_y = 2-(-2) = 4\) et \(\Delta_x = 4-1 = 3\)
Le coefficient directeur de la droite \((AB)\) est donc \(a = \dfrac{4}{3}\).

Propriété 2 : On considère une droite \(\mathscr{D}\) parallèle à l’axe des ordonnées. Il existe alors un réel \(a\) tel qu’une équation de \(\mathscr{D}\) soit \(x=a\).
Preuve Propriété 2

Puisque la droite \(\mathscr{D}\) est parallèle à l’axe des ordonnées, il existe un unique point d’intersection \(A\) entre l’axe des abscisses et \(\mathscr{D}\). Les coordonnées de \(A\) sont donc de la forme \((x_A;0)\).

Soit \(M(x;y)\) un autre point de \(\mathscr{D}\). \(M\) a donc la même abscisse que \(A\).
Par conséquent \(x=x_A\). En posant \(a=x_A\), on a bien \(x=a\).

[collapse]

 

Remarque : La droite \(\mathscr{D}\) est donc l’ensemble des points \(M\) de coordonnées \((a;y)\) pour tout réel \(y\).

Exemple : La droite \((AB)\) a pour équation \(x=2\).
2nd - cours - équations de droites - fig2

Tous les points de cette droite ont des coordonnées de la forme \((2;y)\).

II Positions relatives de deux droites

On considère deux droites \(\mathscr{D}\) et \(\mathscr{D}’\) du plan.

  • Si \(\mathscr{D}\) et \(\mathscr{D}’\) sont parallèles à l’axe des ordonnées
    L’équation de \(\mathscr{D}\) est alors \(x=a\) et celle de \(\mathscr{D}’\) est \(x=a’\).
    Par conséquent si \(a=a’\) alors les deux droites sont confondues, sinon elles sont strictement parallèles.
    2nd - cours - équations de droites - fig4
  • Si\(\mathscr{D}\) est parallèle à l’axe des ordonnées et \(\mathscr{D}’\) ne l’est pas
    Les droites \(\mathscr{D}\), d’équation \(x=c\), et \(\mathscr{D}’\), d’équation \(y=ax+b\), sont donc sécantes.
    Le point d’intersection a pour coordonnées \((c,ac+b)\).
    2nd - cours - équations de droites - fig5
  • Si aucune des droites \(\mathscr{D}\) et \(\mathscr{D}’\) n’est parallèle à l’axe des ordonnées.
    Propriété 3 : \(\mathscr{D}\) a une équation de la forme \(y=ax+b\) et \(\mathscr{D}’\) une équation de la forme \(y=a’x+b’\).
    \(\mathscr{D}\) et \(\mathscr{D}’\) sont parallèles si, et seulement si, \(a=a’\).

    2nd - cours - équations de droites - fig6
    \(\mathscr{D}\) et \(\mathscr{D}’\) ont le même coefficient directeur mais celui de \(\mathscr{D}\prime \prime \) est différent.
    Remarque : Si \(a=a’\) et \(b \ne b’\) alors les deux droites sont strictement parallèles et si \(a=a’\) et \(b=b’\) alors les deux droites sont confondues.

III Alignement de points

Propriété 4 : Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points distincts du plan muni d’un repère \((O;I,J)\).
\(A, B\) et \(C\) sont alignés si, et seulement si, les droites \((AB)\) et \((AC)\) ont le même coefficient directeur.

Exemple : On considère les points \(A(-2;2)\), \(B(2;-1)\) et \(C(50;-37)\). Sont-ils alignés?

  • Le coefficient directeur de la droite \((AB)\) est :
    \[\begin{align*} a_1 &= \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \\\\
    &= \dfrac{-1 -2}{2 – (-2)} \\\\
    &= \dfrac{-3}{4}
    \end{align*} \]\(\quad\)
  • Le coefficient directeur de la droite \((AC)\) est :
    \(\begin{align*} a_2 &= \dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A} \\\\
    & = \dfrac{-37 – 2}{50 – (-2)} \\\\
    &= \dfrac{-39}{52} \\\\
    &=\dfrac{-3}{4}
    \end{align*}\)

Par conséquent les droites \((AB)\) et \((AC)\) ont le même coefficient directeur.
Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont donc alignés.

Remarque : On peut aussi déterminer une équation de la droite \((AB)\) et chercher si le point \(C\) vérifie ou non l’équation.

ImprimerE-mail

Statistiques

Visiteurs
172
Articles
1392
Compteur d'affichages des articles
7871535