Fonctions homographiques; des exercices
Quelques exercices pour s'entraîner…
Exercice 1
Enoncé

Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes :
- Une fonction homographique est toujours définie sur \(\mathbb R^{*} = ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[\).
\(\quad\) - Une fonction homographique peut-être définie sur \(\mathbb R\) privé de \(1\) et \(3\).
\(\quad\) - La fonction \(x \mapsto \dfrac{2-x}{10-x}\) est une fonction homographique.
\(\quad\) - La fonction \(x \mapsto \dfrac{x^2+1}{x+4}\) est une fonction homographique.
\(\quad\) - Une équation quotient \(\dfrac{ax+b}{cx+d}=0\) admet pour solution \( -\dfrac{b}{a}\) et \(-\dfrac{d}{c}\).
\(\quad\)
Exercice 2

Enoncé

Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions homographiques?
- \(f:x\mapsto \dfrac{2x}{x+7}\)
\(\quad\) - \(g:x\mapsto \dfrac{2x-4}{x-2}\)
\(\quad\) - \(h:x \mapsto \dfrac{3x+8}{4+\sqrt{2}}\)
\(\quad\) - \(i:x \mapsto 5 – \dfrac{2x}{x – 8}\)
\(\quad\)
Exercice 3

Enoncé

On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies par :
\[f(x) = 2 + \dfrac{3}{x – 5} \qquad g(x) = 3 – \dfrac{x}{x – 7}\]
- Déterminer l’ensemble de définition de \(f\) et \(g\).
\(\quad\) - Démontrer que ces fonctions sont des fonctions homographiques.
\(\quad\) - Résoudre l’équation \(f(x)=g(x)\).
\(\quad\)
Exercice 4

Enoncé

Soit \(f\) la fonction définie sur \(]-\infty;6[\cup]6;+\infty[\) par \(f(x) = \dfrac{1}{2x-12}\).
- Reproduire et compléter le tableau de valeur suivant :
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&0&4&5&5,5&6,5&7&8 \\
\hline
f(x) & & & & & & & \\
\hline
\end{array}\]
\(\quad\) - Tracer la courbe représentative de \(f\) dans un repère.
\(\quad\) - Déterminer graphiquement puis retrouver par le calcul l’antécédent de \(-\dfrac{1}{3}\).
\(\quad\)
Exercice 5

Enoncé

Résoudre les inéquations suivantes :
- \(\dfrac{2x – 5}{x – 6} \ge 0\)
\(\quad\) - \(\dfrac{5x-2}{-3x+1} < 0\)
\(\quad\) - \(\dfrac{3x}{4x+9} > 0\)
\(\quad\) - \(\dfrac{2x – 10}{11x+2} \le 0\)
\(\quad\)
Exercice 6

Enoncé

On s’intéresse à la fonction \(f\) définie par \(f(x) =\dfrac{x+4}{x+1}\)
- Déterminer l’ensemble de définition de \(f\)
\(\quad\) - Démontrer que \(f\) est une fonction homographique.
\(\quad\) - Démontrer que, pour tout \(x\) différent de \(-1\), on a \(f(x) = 1 + \dfrac{3}{x+1}\).
\(\quad\) - Soient \(u\) et \(v\) deux réels distincts et différents de \(-1\). Etablir que \(f(u) – f(v) = \dfrac{3(v-u)}{(u+1)(v+1)}\).
\(\quad\) - En déduire les variations de \(f\).
\(\quad\)