Fonctions homographiques; des exercices
Publié par Luc GIRAUD. Publié dans Exercices en 2nde
\[
\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}
\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}
\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}
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\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}
\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}
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\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}}
\newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}
\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}
\newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}
\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n}
\newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}
\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}}
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\newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}
\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)}
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\DeclareMathOperator{\ch}{ch}
\DeclareMathOperator{\sh}{sh}
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\DeclareMathOperator{\vect}{vect}
\DeclareMathOperator{\card}{card}
\DeclareMathOperator{\comat}{comat}
\DeclareMathOperator{\imv}{Im}
\DeclareMathOperator{\rang}{rg}
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\DeclareMathOperator{\diam}{diam}
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\newcommand{\dis}{\displaystyle}
\newcommand{\croouv}{[\![}
\newcommand{\crofer}{]\!]}
\newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}
\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle}
\newcommand{\GR}{\mathbb{R}} \]
Quelques exercices pour s'entraîner…
Exercice 1 
Enoncé 
Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes :
- Une fonction homographique est toujours définie sur \(\mathbb R^{*} = ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[\).
\(\quad\)
- Une fonction homographique peut-être définie sur \(\mathbb R\) privé de \(1\) et \(3\).
\(\quad\)
- La fonction \(x \mapsto \dfrac{2-x}{10-x}\) est une fonction homographique.
\(\quad\)
- La fonction \(x \mapsto \dfrac{x^2+1}{x+4}\) est une fonction homographique.
\(\quad\)
- Une équation quotient \(\dfrac{ax+b}{cx+d}=0\) admet pour solution \( -\dfrac{b}{a}\) et \(-\dfrac{d}{c}\).
\(\quad\)
Corrigé 
- Faux. Par exemple \(f : x \mapsto \dfrac{x – 3}{x + 1}\) est définie sur \(]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[\).
\(\quad\)
- Faux. La seule valeur pour laquelle une fonction homographique n’est pas définie est celle qui annule le dénominateur. Celui, étant un polynôme du premier degré, ne s’annule qu’une seule fois.
\(\quad\)
- Vrai. En effet en utilisant la notation \(\dfrac{ax+b}{cx+d}\) on a : \(a=-1\), \(b=2\), \(c=-1\) et \(d=10\).
Donc \(ad-bc = -10 -(-2) = -8 \neq 0\) et \(c\neq 0\).
\(\quad\)
- Faux. Le numérateur n’est pas de la forme \(ax+b\) mais \(ax^2+b\).
\(\quad\)
- Faux. \(\dfrac{ax+b}{cx+d} = 0 \Leftrightarrow ax+b = 0\) et \(cx+d \neq 0\) \(\Leftrightarrow x = -\dfrac{b}{a}\) et \(x \neq -\dfrac{d}{c}\)
\(\quad\)
;
Exercice 2
Enoncé
Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions homographiques?
- \(f:x\mapsto \dfrac{2x}{x+7}\)
\(\quad\)
- \(g:x\mapsto \dfrac{2x-4}{x-2}\)
\(\quad\)
- \(h:x \mapsto \dfrac{3x+8}{4+\sqrt{2}}\)
\(\quad\)
- \(i:x \mapsto 5 – \dfrac{2x}{x – 8}\)
\(\quad\)
Corrigé
On utilisera la notation \(\dfrac{ax+b}{cx+d}\)
- \(a=2\), \(b=0\), \(c=1\) et \(d=7\). On a bien \(c \neq 0\) et \(ad-bc = 14 \neq 0\).
\(f\) est bien une fonction homographique.
\(\quad\)
- \(a=2\), \(b=-4\), \(c=1\) et \(d=-2\). On a bien \(c \neq 0\) mais \(ad-bc=-4 -(-4) = 0\).
\(g\) n’est pas une fonction homographique.
\(\quad\)
- \(a=3\), \(b=8\), \(c=0\) et \(d=4+\sqrt{2}\).
Puisque \(c = 0\), la fonction \(h\) n’est pas homographique.
\(\quad\)
- \(i(x) = \dfrac{5(x-8) – 2x}{x – 8} = \dfrac{5x – 40 – 2x}{x – 8} = \dfrac{3x – 40}{x – 8}\)
\(a=3\), \(b=-40\), \(c=1\) et \(d=-8\). On a bien \(c \neq 0\) et \(ad-bc = -24 + 40 = 16 \neq 0\).
\(i\) est bien une fonction homographique.
\(\quad\)
Exercice 3
Enoncé
On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies par :
\[f(x) = 2 + \dfrac{3}{x – 5} \qquad g(x) = 3 – \dfrac{x}{x – 7}\]
- Déterminer l’ensemble de définition de \(f\) et \(g\).
\(\quad\)
- Démontrer que ces fonctions sont des fonctions homographiques.
\(\quad\)
- Résoudre l’équation \(f(x)=g(x)\).
\(\quad\)
Corrigé
- \(f\) est définie quand \(x – 5\neq 0\). Par conséquent \(\mathscr{D}_f =]-\infty;5[\cup]5;+\infty[\).
\(g\) est définie quand \(x – 7\neq 0\). Par conséquent \(\mathscr{D}_g =]-\infty;7[\cup]7;+\infty[\).
\(\quad\)
- \(f(x) = \dfrac{2(x – 5) + 3}{x – 5} = \dfrac{2x – 10 + 3}{x – 5} = \dfrac{2x – 7}{x -5}\)
On a ainsi \(a = 2\), \(b=-7\), \(c=1\) et \(d=-5\). On a bien \(c \neq 0\) et \(ad-bc = -10 + 7 = -3\neq 0\).
Par conséquent, \(f\) est bien une fonction homographique.
\(\quad\)
\(g(x) = \dfrac{3(x – 7) – x}{x – 7} = \dfrac{3x – 21 – x}{x -7} = \dfrac{2x – 21}{x – 7}\)
On a ainsi \(a = 2\), \(b=-21\), \(c=1\) et \(d=-7\). On a bien \(c \neq 0\) et \(ad-bc = -14 + 21 = 7 \neq 0\)
Par conséquent \(g\) est bien une fonction homographique.
\(\quad\)
- \(\quad\)
\(\begin{align*} f(x) = g(x) & \Leftrightarrow \dfrac{2x-7}{x-5} = \dfrac{x – 21}{x – 7} \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{2x – 7}{x – 5} – \dfrac{2x – 21}{x -7} = 0\\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{(2x – 7)(x – 7)}{(x-5)(x-7)} – \dfrac{(2x – 21)(x – 5)}{(x-7)(x-5)} = 0\\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{2x^2-14x-7x+49}{(x-5)(x-7)} – \dfrac{2x^2-10x-21x+105}{(x-7)(x-5)} = 0\\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{10x-56}{(x-5)(x-7)} = 0 \\\\
& \Leftrightarrow 10x – 56 = 0 \text{ et } x \neq 5 \text{ et } x \neq 7 \\\\
& \Leftrightarrow x = 5,6
\end{align*}\)
La solution de l’équation est donc \(5,6\).
Exercice 5
Enoncé
Résoudre les inéquations suivantes :
- \(\dfrac{2x – 5}{x – 6} \ge 0\)
\(\quad\)
- \(\dfrac{5x-2}{-3x+1} < 0\)
\(\quad\)
- \(\dfrac{3x}{4x+9} > 0\)
\(\quad\)
- \(\dfrac{2x – 10}{11x+2} \le 0\)
\(\quad\)
Indication
Résoudre les inéquations suivantes :
- \(\dfrac{2x – 5}{x – 6} \ge 0\)
\(\quad\)
- \(\dfrac{5x-2}{-3x+1} < 0\)
\(\quad\)
- \(\dfrac{3x}{4x+9} > 0\)
\(\quad\)
- \(\dfrac{2x – 10}{11x+2} \le 0\)
\(\quad\)
Exercice 6
Enoncé
On s’intéresse à la fonction \(f\) définie par \(f(x) =\dfrac{x+4}{x+1}\)
- Déterminer l’ensemble de définition de \(f\)
\(\quad\)
- Démontrer que \(f\) est une fonction homographique.
\(\quad\)
- Démontrer que, pour tout \(x\) différent de \(-1\), on a \(f(x) = 1 + \dfrac{3}{x+1}\).
\(\quad\)
- Soient \(u\) et \(v\) deux réels distincts et différents de \(-1\). Etablir que \(f(u) – f(v) = \dfrac{3(v-u)}{(u+1)(v+1)}\).
\(\quad\)
- En déduire les variations de \(f\).
\(\quad\)
- Il ne faut pas que \(x + 1 =0\). Par conséquent \(\mathscr{D}_f=]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[\).
\(\quad\)
- \(a=1\), \(b=4\), \(c=1\) et \(d= 1\). On a bien \(c \neq 0\) et \(ad – bc = 1 – 4 = -3 \neq 0\).
\(\quad\)
- \(1+\dfrac{3}{x+1} = \dfrac{x+1 + 3}{x+1} = \dfrac{x+4}{x+1} = f(x)\).
\(\quad\)
- \(\quad\)
\(\begin{align*} f(u)-f(v) & = 1 + \dfrac{3}{u+1} – \left(1 + \dfrac{3}{v+1} \right) \\\\
& = \dfrac{3}{u+1} – \dfrac{v+1} \\\\
& = \dfrac{3(v+1) – 3(u+1)}{(u+1)(v+1)} \\\\
& = \dfrac{3(v-u)}{(u+1)(v+1)}
\end{align*}\)
- Si \(u<v<-1\) alors :
• \(v-u > 0\)
• \(u+1<0\) et \(v+1<0\) donc \((u+1)(v+1)>0\)
Par conséquent \(f(u)-f(v)>0\) et la fonction \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;-1[\).
\(\quad\)
Si \(-1<u<v\) alors :
• \(v-u > 0\)
• \(u+1>0\) et \(v+1>0\) donc \((u+1)(v+1)>0\)
Par conséquent \(f(u)-f(v)>0\) et la fonction \(f\) est décroissante sur \(]-1;+\infty[\).
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