Coordonnées dans le plan , calcul de distances ; des exercices

 

\[ \newcommand{\mtn}{\mathbb{N}} \newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*} \newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mtr}{\mathbb{R}} \newcommand{\mtk}{\mathbb{K}} \newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\mch}{\mathcal{H}} \newcommand{\mcp}{\mathcal{P}} \newcommand{\mcb}{\mathcal{B}} \newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)} \newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}} \newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\ic}{\text{i}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}} \newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect} \DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat} \DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg} \DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![} \newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)} \newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} \newcommand{\GR}{\mathbb{R}} \]

 

Quelques exercices pour s'entraîner…

Exercice 1

Enoncé

Dans un repère orthonormé, on donne les points \(A(3;7)\), \(B(-3;1)\) et \(C(1;-3)\).

Démontrer que le triangle \(ABC\) est un triangle rectangle. Est-il isocèle? Justifier.

Corrigé
Exercice 2
Enoncé

Le repère est orthonormé. Déterminer dans chacun des cas les distances \(AB\), \(AC\) et \(BC\). Le triangle \(ABC\) est-il rectangle?

  1. \(A(3;0)\), \(B(-1;0)\), \(C(-1;3)\)
    \(\quad\)
  2. \(A(-2;3)\), \(B(3;2)\), \(C(0;0)\)
    \(\quad\)
  3. \(A(0;5)\), \(B(3;6)\), \(C(5;-2)\)
Corrigé
Exercice 3
Enoncé

On considère les points \(A(3;4)\) et \(B(2;2)\) du plan muni d’un repère.

Déterminer les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\).

Corrigé
 
Exercice 4
Enoncé

On considère un repère du plan. Dans chacun des cas, déterminer les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\).

  1. \(A(1;-5)\) et \(B(3;-9)\)
    \(\quad\)
  2. \(A(-2;1)\) et \(B(2;0)\)
    \(\quad\)
  3. \(A\left(-3;\sqrt{2}\right)\) et \(B\left(2;-\sqrt{2}\right)\)
    \(\quad\)
  4. \(A(1;-3)\) et \(B(-1;3)\)
Corrigé
Exercice 5
Enoncé

Dans un repère du plan, on considère les points \(E(3;4)\), \(F(6;6)\) et \(K(4;-1)\).

Calculer les coordonnées des points \(G\) et \(H\) tels que \(EFGH\) soit un parallélogramme de centre \(K\).

Corrigé
Exercice 6
Enoncé

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points \(A(-2;-3)\) et \(B(4;1)\).

Les points \(M(3;2)\) et \(N\left(-2;\dfrac{5}{2} \right)\) sont-ils sur le cercle de diamètre \([AB]\)? Justifier.

Exercice 7
Enoncé

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points \(A(4;1)\), \(B(0;4)\) et \(C(-6;-4)\).

  1. Calculer \(AB\), \(AC\) et \(BC\).
    \(\quad\)
  2. En déduire que le triangle \(ABC\) est rectangle.
    \(\quad\)
  3. Trouver ensuite les coordonnées du centre du cercle circonscrit à ce triangle. Quel est son rayon?
Corrigé
 

Exercice 8

Enoncé

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points \(A(-5;-3)\), \(B(8;3)\), \(M(1;1)\) et \(N\left( -3;\dfrac{39}{4}\right)\).

Les points \(M\) et \(N\) sont-ils sur la médiatrice du segment \([AB]\)? Justifier.

Corrigé
Exercice 9
Enoncé

Dans le plan muni d’un repère orthonormé \((O;I,J)\) on considère les points \(A(-3;0)\), \(B(2;1)\), \(C(4;3)\) et \(D(-1;2)\).

  1. Placer les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\).
    \(\quad\)
  2. Démontrer que les segments \([AC]\) et \([BD]\) ont le même milieu \(K\).
    \(\quad\)
  3. Montrer que le triangle \(OBD\) est rectangle est isocèle.
    \(\quad\)
  4. On considère le point \(E\) du plan tel que \(BODE\) soit un parallélogramme.
    Quelles sont les coordonnées de \(E\).
    \(\quad\)
  5. Calculer \(AE\).
Corrigé

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