Coordonnées, milieu; des exercices

 

\[ \newcommand{\mtn}{\mathbb{N}} \newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*} \newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mtr}{\mathbb{R}} \newcommand{\mtk}{\mathbb{K}} \newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\mch}{\mathcal{H}} \newcommand{\mcp}{\mathcal{P}} \newcommand{\mcb}{\mathcal{B}} \newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)} \newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}} \newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\ic}{\text{i}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}} \newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect} \DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat} \DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg} \DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![} \newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)} \newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} \newcommand{\GR}{\mathbb{R}} \]

 

Quelques exercices pour s'entraîner…

Exercice 1

Enoncé

Dans chacun des repères \((O;I,J)\), placez les points suivants :

\[A(1;2) \quad B(-2;1) \quad C(-2;3) \quad D(-1,-2)\]

 

2nd-exos-milieux et coordonnées-ex1

Exercice 2
Enoncé

On suppose le plan muni d’un repère \((O;I,J)\).

Dans chacun des cas, déterminez les coordonnées du milieu du segment dont les extrémités sont fournies.

  1. \(A(2;3)\) et \(B(5;-1)\)
    \(\quad\)
  2. \(C(-1;-2)\) et \(D(-4;3)\)
    \(\quad\)
  3. \(E\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{4}\right)\) et \(F\left(\dfrac{2}{3};-\dfrac{2}{5}\right)\)
    \(\quad\)
  4. \(I\) et \(J\)
    \(\quad\)
Corrigé
  1. On appelle \(M_1\) le milieu de \([AB]\).
    \(\begin{cases} x_{M_1} = \dfrac{2+5}{2} = \dfrac{7}{2} \\\\y_{M_1} = \dfrac{3+(-1)}{2} = 1\end{cases}\)
    Donc \(M_1\left(\dfrac{7}{2};1\right)\).
    \(\quad\)
  2. On appelle \(M_2\) le milieu de \([CD]\).
    \(\begin{cases} x_{M_2} = \dfrac{-1+(-4)}{2} = -\dfrac{5}{2} \\\\y_{M_2} = \dfrac{-2+3}{2} = \dfrac{1}{2}\end{cases}\)
    Donc \(M_2\left(-\dfrac{5}{2};\dfrac{1}{2}\right)\).
    \(\quad\)
  3. On appelle \(M_3\) le milieu de \([EF]\).
    \(\begin{cases} x_{M_3} = \dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}}{2} = \dfrac{\dfrac{3}{6}+\dfrac{4}{6}}{2} =\dfrac{7}{12}\\\\y_{M_1} = \dfrac{\dfrac{5}{4}+\left(-\dfrac{2}{5}\right)}{2} = \dfrac{\dfrac{25}{20}-\dfrac{8}{20}}{2}=\dfrac{17}{40}\end{cases}\)
    Donc \(M_3\left(\dfrac{7}{12};\dfrac{17}{40}\right)\).
  4. On appelle \(M_4\) le milieu de \([IJ]\).
    \(\begin{cases} x_{M_4} = \dfrac{1+0}{2} = \dfrac{1}{2} \\\\y_{M_1} = \dfrac{0+1}{2} = \dfrac{1}{2}\end{cases}\)
    Donc \(M_4\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\).
    \(\quad\)
Exercice 3
Enoncé

On suppose le plan muni d’un repère \((O;I,J)\).

On considère les points \(A(-2;3)\) et \(B(1;-4)\).

  1. Déterminez par le calcul les coordonnées du milieu \(K\) de \([AB]\).
    \(\quad\)
  2. Déterminez par le calcul les coordonnées du point \(S\) symétrique du point \(A\) par rapport au point \(B\).
    \(\quad\)
Corrigé
 
Exercice 4
Enoncé

On suppose le plan muni d’un repère \((O;I,J)\).

On considère les points \(A(5;2)\) et \(B(-3;7)\).

Déterminez les coordonnées du point \(C\) tel que \(B\) soit le milieu de \([AC]\).
\(\quad\)

Corrigé
Exercice 5
Enoncé

On suppose le plan muni d’un repère \((O;I,J)\).

On considère les points \(E(6;-1)\), \(F(-4;3)\) et \(G(1;5)\).

Déterminez les coordonnées du point \(H\) tel que \(EFGH\) soit un parallélogramme.

\(\quad\)

Corrigé
Exercice 6
Enoncé

On suppose le plan muni d’un repère \((O;I,J)\).

On considère les points \(A(3;4)\), \(B(6;6)\) et \(C(4;-1)\).

Calculer les coordonnées de \(D\) et \(E\) tels que \(ABDE\) soit un parallélogramme de centre \(C\).
\(\quad\)

Exercice 7
Enoncé

On suppose le plan muni d’un repère \((O;I,J)\).

On considère les points \(A(-1;2,5)\), \(B(-4;-1,5)\) et \(C(2;-2)\).

  1. Déterminez les coordonnées du milieu \(D\) de \([AB]\).
    \(\quad\)
  2. La droite parallèle à \((BC)\) passant par \(D\) coupe \([AC]\) en \(E\).
    Déterminez les coordonnées de \(E\).
    \(\quad\)
Corrigé

 

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