Bac STI2D Métropole 16 juin 2016 : Fonction ln

oui
STI2D
Année 2016
Métropole Juin
Fonction ln

Exercice 3 4 points


Fonctions

Quand l'oreille humaine est soumise à une intensité acoustique, exprimée en watts par mètre carré (W/m\(^2\)), le niveau sonore du bruit responsable de cette intensité acoustique est exprimé en décibels (dB).

Document
Echelle de bruit

\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{Sources sonores} &\text{Intensité} &\text{Niveau} & \text{Sensation auditive} \\ &\text{acoustique} &\text{sonore} &\\ &\text{(W/m}^2\text{ )} &\text{arrondi} & \\ & &\text{éventuellement}&\\ & &\text{à l'unité} &\\\hline \text{Décollage de la Fusée Ariane}& 10^ 6 &180 &\text{Exige une protection spéciale} \\ \hline \text{Turboréacteur} & 10^2 &140 &\text{Exige une protection spéciale} \\ \hline \text{Course de Formule 1} & 10 &130 &\text{Exige une protection spéciale} \\ \hline \text{Avion au décollage} & 1 &120 &\text{Seuil de douleur} \\ \hline \text{Concert et discothèque} & 10^{-1} &110 &\text{Très difficilement supportable} \\ \hline \text{Baladeur à puissance}& 10^{-2} &100 & \text{Très difficilement supportable} \\ \text{ maximum } & & &\\ \hline \text{ Moto} & 10^{-5} & 70 &\text{Pénible à entendre} \\ \hline \text{ Voiture au ralenti}&10^{-7} & 50 &\text{Bruit courant}\\ \hline \text{Seuil d'audibilité} & 10^{-12} & 0,08 &\text{Silence anormal} \\ \hline \end{array}\]

  1. D'après le tableau, lorsque l'intensité acoustique est multipliée par 10, quelle semble être l'augmentation du niveau sonore ?
  2. La relation liant l'intensité acoustique \(x\) où \(x\) appartient à l'intervalle \(\left [10^ {-12} ; 10^6\right ]\) et le niveau sonore est donnée par : \[f (x) =\dfrac{10}{\ln 10} \times \ln(x) + 120.\]On pourra prendre \(\dfrac{10}{\ln 10} \approx 4,34\).
    1. Vérifier la conjecture émise à la question 1.
    2. Quel serait le niveau sonore de deux motos ?
  3. Pour éviter tout risque sur la santé, le port d'un casque de protection acoustique est donc conseillé au delà de 85 dB. Déterminer l'intensité acoustique à partir de laquelle le port d'un tel casque est conseillé.
 
 

Correction de l'exercice 3 (4 points)


Fonctions

Quand l'oreille humaine est soumise à une intensité acoustique, exprimée en watts par mètre carré (W/m\(^2\)), le niveau sonore du bruit responsable de cette intensité acoustique est exprimé en décibels (dB).

Document
Echelle de bruit

\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{Sources sonores} &\text{Intensité} &\text{Niveau} & \text{Sensation auditive} \\ &\text{acoustique} &\text{sonore} &\\ &\text{(W/m}^2\text{ )} &\text{arrondi} & \\ & &\text{éventuellement}&\\ & &\text{à l'unité} &\\\hline \text{Décollage de la Fusée Ariane}& 10^ 6 &180 &\text{Exige une protection spéciale} \\ \hline \text{Turboréacteur} & 10^2 &140 &\text{Exige une protection spéciale} \\ \hline \text{Course de Formule 1} & 10 &130 &\text{Exige une protection spéciale} \\ \hline \text{Avion au décollage} & 1 &120 &\text{Seuil de douleur} \\ \hline \text{Concert et discothèque} & 10^{-1} &110 &\text{Très difficilement supportable} \\ \hline \text{Baladeur à puissance}& 10^{-2} &100 & \text{Très difficilement supportable} \\ \text{ maximum } & & &\\ \hline \text{ Moto} & 10^{-5} & 70 &\text{Pénible à entendre} \\ \hline \text{ Voiture au ralenti}&10^{-7} & 50 &\text{Bruit courant}\\ \hline \text{Seuil d'audibilité} & 10^{-12} & 0,08 &\text{Silence anormal} \\ \hline \end{array}\]

  1. D'après le tableau, lorsque l'intensité acoustique est multipliée par 10, quelle semble être l'augmentation du niveau sonore ?
  2. D'après le tableau, lorsque l'intensité acoustique est multipliée par 10, on semble ajouter 10 dB au niveau sonore.
  3. La relation liant l'intensité acoustique \(x\) où \(x\) appartient à l'intervalle \(\left [10^ {-12} ; 10^6\right ]\) et le niveau sonore est donnée par : \[f (x) =\dfrac{10}{\ln 10} \times \ln(x) + 120.\]On pourra prendre \(\dfrac{10}{\ln 10} \approx 4,34\).
    1. Vérifier la conjecture émise à la question 1.
    2. \begin{align*} f(10x) & = \dfrac{10}{\ln 10} \times \ln(10 x) + 120& \text{ On a multiplié par 10 ... }\\ &=\dfrac{10}{\ln 10} \times \left ( \ln(10) +\ln ( x) \right )+ 120& \\ &=\dfrac{10}{\ln 10} \times \left ( \ln 10 +\ln ( x) \right )+ 120& \\ &=\dfrac{10}{\ln 10} \times \ln 10 + \dfrac{10}{\ln 10} \times \ln x + 120 \\ &= 10 + \underbrace{\dfrac{10}{\ln 10} \times \ln x + 120 }_{f(x)}\\ &= f(x)+ 10 \end{align*}
    3. Quel serait le niveau sonore de deux motos ?
    4. Pour calculer le le niveau sonore de deux motos on calcule \(f\left ( 2\times 10^{-5}\right )\) \begin{align*} f\left ( 2\times 10^{-5}\right ) & = \dfrac{10}{\ln 10} \times \ln\left ( 2\times 10^{-5}\right ) + 120& \\ &=\dfrac{10}{\ln 10} \times \left ( \ln2 +\ln \left ( 10^{-5}\right ) \right )+ 120& \text{ car } \ln (a \times b)= \ln a +\ln b \\ &=\dfrac{10}{\ln 10} \times \ln 2 + \dfrac{10}{\ln 10} \times \left ( 10^{-5}\right ) + 120 \\ &= \dfrac{10\ln 2}{\ln 10} + \underbrace{ \dfrac{10}{\ln 10} \times \left ( 10^{-5}\right ) + 120 }_{f\left ( 10^{-5}\right )}\\ &= \dfrac{10\ln 2}{\ln 10} +70 \\ &\approx 73 \end{align*} Remarque: on peut bien sûr vérifier ce calcul à l'aide d'une calculatrice !
      Le niveau sonore de deux motos est environ 73 dB.
  4. Pour éviter tout risque sur la santé, le port d'un casque de protection acoustique est donc conseillé au delà de 85 dB. Déterminer l'intensité acoustique à partir de laquelle le port d'un tel casque est conseillé.
  5. On résout \(f(x) < 85\) \begin{align*} f(x) < 85 & \iff \dfrac{10}{\ln 10} \times \ln(x) + 120 < 85 & \\ & \iff \dfrac{10}{\ln 10} \times \ln(x) < -35 & \\ & \iff \ln x < -\dfrac{ 35 \ln 10 }{10} & \text{ car } \dfrac{10}{\ln 10} \approx 4,34 > 0 \\ &\iff x < \text{e}^{ -\frac{35 \ln 10 }{10} } & \text{ car } x \mapsto \text{e}^x \text{ est st. croissante sur } \mathbb R \\ &\iff x < \left (\text{e}^{ \ln 10 } \right )^{-\frac{35}{10}}& \\ &\iff x < 10^{-3,5} \end{align*} Or \(10^{-3,5}\approx 3,2 \times 10^{-4}\)
    L'intensité acoustique à partir de laquelle le port d'un tel casque est conseillé est environ \(3,2 \times 10^{-4}\) W/m\(^2\). On résout \(f(x) < 85\)
    On utilise la calculatrice :
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