Baccalauréat S Amérique du Sud 24 novembre 2015 : Fonction ln

Correction de l'exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

Partie A

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \((,O;\vec{i},\vec{j} \,)\) on désigne par \(\mathcal{C}_u\) la courbe représentative de la fonction \(u\) définie sur l'intervalle \(]0;+ \infty[\) par : \[u(x) = a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{x^2}\]où \(a, b\) et \(c\) sont des réels fixés. On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe \(\mathcal{C}_u\) et la droite \(\mathcal{D}\) d'équation \(y = 1\).

On précise que la courbe \(\mathcal{C}_u\) passe par les points A(1;0) et B(4;0) et que l'axe des ordonnées et la droite \(\mathcal{D}\) sont asymptotes à la courbe \(\mathcal{C}_u\).

1. Donner les valeurs de \(u(1)\) et \(u(4)\).
La courbe \(\mathscr{C}_u\) passe par \(A(1;0)\) par conséquent \(u(1)=0\).
Elle passe également pas \(B(4;0)\) donc \(u(4)=0\).
\(\quad\)
2. Donner \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} u(x)\). En déduire la valeur de \(a\).
\(\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}=0\) et \(\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x^2}=0\).
Donc \(\lim\limits_{x\to +\infty} u(x)=a\).
La droite d’équation \(y=1\) étant asymptote à la courbe \(\mathscr{C}_u\) cela signifie donc que \(a=1\).
\(\quad\)
3. En déduire que, pour tout réel \(x\) strictement positif, \(u(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 4}{x^2}\).
Ainsi \(u(x)=1+\dfrac{b}{x}+\dfrac{c}{x^2}\).
Puisque \(u(1)=0\) on obtient \(1+b+c=0\) soit \(b+c=-1 \quad (1)\).
Puisque \(u(4)=0\) on obtient \(1+\dfrac{b}{4}+\dfrac{c}{16}=0\) soit \(16+4b+c=0\) ou encore \(4b+c=-16 \quad (2)\).
On fait \((2)-(1)\) : \(3b=-15\) soit \(b=-5\)
Ainsi \(-5+c=-1\) soit \(c=4\).
On vérifie dans l’équation \(2\) \(4\times (-5)+4=-20+4=-16\)
\(\quad\)
Par conséquent \(u(x)=1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{4}{x^2} = \dfrac{x^2-5x+4}{x^2}\).
\(\quad\)

Partie B

Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \(]0;+ \infty[\) par : \[f(x) = x - 5\ln x - \dfrac{4}{x}.\]

1. Déterminer la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(0\). On pourra utiliser sans démonstration le fait que \(\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0\).
\(f(x)=\dfrac{x^2-5x\ln x-4}{x}\).
\(\lim\limits_{x \to 0^+} x\ln x=0\) donc \(\lim\limits_{x \to 0^+}x^2-5x\ln x-4 = -4\)
Or \(\lim\limits_{x \to 0^+} x=0^+\)
Par conséquent \(\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=-\infty\).
\(\quad\)
2. Déterminer la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+ \infty\).
\(f(x)=x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}-\dfrac{4}{x^2}\right)\).
\(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^2}=0\).
Donc \(\lim\limits_{x \to +\infty} \left(1-\dfrac{\ln x}{x}-\dfrac{4}{x^2}\right) =1\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty\).
\(\quad\)
3. Démontrer que, pour tout réel \(x\) strictement positif, \(f'(x) = u(x)\). En déduire le tableau de variation de la fonction \(f\) en précisant les limites et les valeurs particulières.
La fonction \(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
\(f'(x)=1-5\times \dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{x^2} = u(x)\).
Le signe de \(u(x)\) ne dépend que de celui de \(x^2-5x+4=(x-1)(x-4)\)
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

Partie C

1. Déterminer l'aire \(\mathcal{A}\), exprimée en unité d'aire, du domaine hachuré sur le graphique de la \textbf{partie A}.
L’aire hachurée correspond à l’aire du domaine situé entre l’axe des abscisses, la courbe \(\mathscr{C}_u\) et les droites d’équation \(x=0\) et \(x=4\).
La fonction \(-u\) est continue et positive sur \([1;4]\).
Ainsi :
\(\begin{align*} \mathscr{A}&=\int_1^4-u(x)\mathrm{d}x\phantom{\dfrac{1}{4}} \\\\
&=-\left(f(4)-f(1)\right) \\\\
&=-(3-5\ln 4 +3) \\\\
&=5\ln 4-6
\end{align*}\)
\(\quad\)
2. Pour tout réel \(\lambda\) supérieur ou égal à 4, on note \(\mathcal{A}_{\lambda}\) l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine formé par les points \(M\) de coordonnées \((x;y)\) telles que \[4 \leqslant x \leqslant \lambda\quad \text{et}\quad 0 \leqslant y \leqslant u(x).\]Existe-t-il une valeur de \(\lambda\) pour laquelle \(\mathcal{A}_{\lambda} = \mathcal{A}\) ? Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
L’aire \(\mathscr{A}_{\lambda}\) correspond à l’aire du domaine situé entre la courbe \(\mathscr{C}_u\), l’axe des abscisses et les droites d’équation \(x=4\) et \(x=\lambda\).
La fonction \(u\) est continue et positive sur \([4;\lambda]\).
Ainsi :
\(\begin{align*} \mathscr{A}_{\lambda}&=\int_4^{\lambda}u(x)\mathrm{d}x\phantom{\dfrac{1}{4}} \\\\
&=f(\lambda)-f(4) \\\\
&=f(\lambda)-\left(3-5\ln 4\right) \\\\
&=f(\lambda)-\dfrac{4}{\lambda}-3+5\ln 4
\end{align*}\)
On veut donc résoudre l’équation \(f(\lambda)-3+5\ln 4=5\ln 4 -6\)
soit \(f(\lambda)=-3\).
La fonction \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante sur \([4;+\infty[\).
De plus \(f(4)=3-5\ln 4 <-3\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty\)
Par conséquent \(-3\in [f(4);+\infty[\).
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation \(f(\lambda)=-3\) possède une unique solution.
\(\quad\)
Il existe donc une valeur de \(\lambda\) telle que \(\mathscr{A}=\mathscr{A}_{\lambda}\)
\(\quad\)