Baccalauréat S Métropole -La Réunion 9 septembre 2015: Fonction ln et calcul intégral

oui
non
S
Année 2015
Métropole Septembre
Calcul intégral,Fonction ln

Exercice 4 : 3 points

 


Commun à tous les candidats

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0~;~ +\infty[\) par \[f(x) = \dfrac{1}{x}(1 + \ln x)\]

  1. Dans les trois situations suivantes, on a dessiné, dans un repère orthonormé, la courbe représentative \(\mathcal{C}_f\) de la fonction \(f\) et une courbe \(\mathcal{C}_F\). Dans une seule situation, la courbe \(\mathcal{C}_F\) est la courbe représentative d'une primitive \(F\) de la fonction \(f\). Laquelle ? Justifier la réponse.
  2. Dans la situation retenue à la question 1, on appelle :
    • K le point d'intersection de la courbe \(\mathcal{C}_f\) et de l'axe des abscisses et \(\mathcal{D}\) la droite passant par K et parallèle à l'axe des ordonnées ;
    • L le point d'intersection de \(\mathcal{C}_F\) et de l'axe des abscisses, ayant une abscisse supérieure à \(\dfrac{1}{2}\) et \(\Delta\) la droite passant par L et parallèle à l'axe des ordonnées.
    1. Déterminer une valeur approchée de l'aire du domaine du plan délimité par les droites \(\mathcal{D}\) et \(\Delta\), par la courbe \(\mathcal{C}_f\) et par l'axe des abscisses.
    2. Peut-on déterminer la valeur exacte de cette aire ?
 

Correction de l'exercice 4 : 3 points


Commun à tous les candidats

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0~;~ +\infty[\) par \[f(x) = \dfrac{1}{x}(1 + \ln x)\]

  1. Dans les trois situations suivantes, on a dessiné, dans un repère orthonormé, la courbe représentative \(\mathcal{C}_f\) de la fonction \(f\) et une courbe \(\mathcal{C}_F\). Dans une seule situation, la courbe \(\mathcal{C}_F\) est la courbe représentative d'une primitive \(F\) de la fonction \(f\). Laquelle ? Justifier la réponse.
  2. Il n’y a que dans la situation 2 que le signe de \(\mathscr{C}_f\) correspond aux variations de \(\mathscr{C}_F\).
    \(\quad\)
  3. Dans la situation retenue à la question 1, on appelle :
    • K le point d'intersection de la courbe \(\mathcal{C}_f\) et de l'axe des abscisses et \(\mathcal{D}\) la droite passant par K et parallèle à l'axe des ordonnées ;
    • L le point d'intersection de \(\mathcal{C}_F\) et de l'axe des abscisses, ayant une abscisse supérieure à \(\dfrac{1}{2}\) et \(\Delta\) la droite passant par L et parallèle à l'axe des ordonnées.
    1. Déterminer une valeur approchée de l'aire du domaine du plan délimité par les droites \(\mathcal{D}\) et \(\Delta\), par la courbe \(\mathcal{C}_f\) et par l'axe des abscisses.
    2. L’aire de ce domaine est d’environ \(0,5 \times 1 = 0,5\) u.a.
      \(\quad\)
    3. Peut-on déterminer la valeur exacte de cette aire ?
    4. Pour répondre à cette question, il faut être en mesure de déterminer la primitive dont une représentation graphique est fournie.
      Une primitive de \(f\) est \(F\) définie sur \([0;+\infty[\) par \(F(x)=\ln(x)+\dfrac{\left(\ln(x)\right)^2}{2} +C\).
      Une lecture graphique ne permet pas de déterminer précisément la valeur de \(C\).
      Il n’est donc pas possible de fournir une valeur exacte de l’aire.
      \(\quad\)
      Remarque : Si on suppose que \(F(1) = 0\) alors \(C=0\) et \(F(x)=\ln(x)+\dfrac{\left(\ln(x)\right)^2}{2}=\ln(x)\left(1+\dfrac{\ln(x)}{2}\right)\).
      L’abscisse de \(K\) vérifie donc \(1+\ln x = 0\) soit \(x=\text{e}^{-1}\).
      L’abscisse de \(L\) vérifie donc \(1 + \dfrac{\ln x}{2} = 0\) soit \(x=\text{e}^{-2}\) ou \(\ln x=0\) soit \(x=1\).
      Or son abscisse est supérieure à \(\dfrac{1}{2}\). Par conséquent \(x_L = 1\).
      Ainsi l’aire du domaine cherchée, puisque la fonction \(f\) est positive et continue sur \(\left[e^{-1};1\right]\) est :
      \[\begin{align*} I &= \int_{\text{e}^{-1}}^1 f(x) \mathrm{d}x \\\\
      &= F(1)-F(\text{e}^{-1})\\\\
      &= -\left(-1+\dfrac{(-1)^2}{2}\right) \\\\
      &= \dfrac{1}{2}
      \end{align*}\]
 

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