Baccalauréat S Métropole 22 juin 2015 : Calcul intégral

oui
non
S
Année 2015
Métropole Juin
Calcul intégral,Fonction ln

Exercice 4 6 points


Commun à tous les candidats


Le dessin ci-dessous en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères OAD\('\)D, DD\('\)C\('\)C, et OAB\('\)B sont des rectangles. Le plan de face (OBD) est muni d'un repère orthonormé (O, I, J). L'unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres, autrement dit, DD\('\) = 10, sa longueur OD est de 20 mètres.

Le but dit problème est de déterminer l'aire des différentes surfaces à peindre.

Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d'une photo par la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([0~;~20]\) par \[f(x) = (x + 1)\ln (x + 1) - 3x + 7.\]On note \(f'\) la fonction dérivée de la fonction \(f\) et \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans le repère (O, I, J).

Partie 1
  1. Montrer que pour tout réel \(x\) appartenant à l'intervalle \([0~;~20]\), on a \(f'(x) = \ln (x + 1) -2\).
  2. En déduire les variations de \(f\) sur l'intervalle \([0~;~20]\), et dresser son tableau de variation.
  3. Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe \(\mathcal{C}\) au point d'abscisse \(0\).

  4. La valeur absolue de ce coefficient est appelée l'inclinaison du module de skateboard au point B.

  5. On admet que la fonction \(g\) définie sur l'intervalle \([0~;~20]\) par \[g(x) = \dfrac{1}{2}(x + 1)^2 \ln (x + 1) - \dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{1}{2}x\]a pour dérivée la fonction \(g'\) définie sur l'intervalle \([0~;~20]\) par \(g'(x) = (x + 1)\ln (x + 1)\).
    Déterminer une primitive de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0~;~20]\).

 

Partie 2


Les trois questions de cette partie sont indépendantes

  1. Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier les réponses.
    • P\(_1\) : La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres.
    • P\(_2\) : L'inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en B qu'en C.
  2. On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d'une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5 m\(^2\) par litre. Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.
  3. On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module. Afin de déterminer une valeur approchée de l'aire de la partie à peindre, on considère dans le repère (O, I, J) du plan de face, les points \(B_k(k~;~f(k))\) pour \(k\) variant de 0 à 20. Ainsi, \(B_0 =\) B.
    On décide d'approcher l'arc de la courbe \(\mathcal{C}\) allant de \(B_k\) à \(B_{k+1}\) par le segment \(\left[B_kB_{k+1}\right]\). Ainsi l'aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type \(B_k B_{k+1} B'_{k+1}B_k\) (voir figure).
    1. Montrer que pour tout entier \(k\) variant de 0 à 19, \(B_kB_{k+1} = \sqrt{1 + [f(k + 1) - f(k)]^2}\).
    2. Compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche une estimation de l'aire de la partie roulante. \[\begin{array}{ |l|l|}\hline \text{Variables} &S : \text{ réel }\\ &K : \text{ entier }\\ \text{Fonction } &f : \text{définie par } f(x) = (x + 1)\ln(x + 1)- 3x + 7\\ \hline \text{Traitement }&S \text{ prend pour valeur } 0\\ &\text{ Pour } K \text{ variant de } \ldots \text{ à } \ldots\\ &\hspace{1cm}S \text{ prend pour valeur } \ldots \ldots\\ &\text{ Fin Pour }\\ \hline \text{ Sortie } &\text{ Afficher } \ldots\\ \hline \end{array}\]
 

Correction de l'exercice 4 6 points


Commun à tous les candidats


Le dessin ci-dessous en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères OAD\('\)D, DD\('\)C\('\)C, et OAB\('\)B sont des rectangles. Le plan de face (OBD) est muni d'un repère orthonormé (O, I, J). L'unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres, autrement dit, DD\('\) = 10, sa longueur OD est de 20~mètres.

Le but dit problème est de déterminer l'aire des différentes surfaces à peindre.

Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d'une photo par la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([0~;~20]\) par \[f(x) = (x + 1)\ln (x + 1) - 3x + 7.\]On note \(f'\) la fonction dérivée de la fonction \(f\) et \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans le repère (O, I, J).

Partie 1
  1. Montrer que pour tout réel \(x\) appartenant à l'intervalle \([0~;~20]\), on a \(f'(x) = \ln (x + 1) -2\).
  2. La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\) en tant que somme et produit de fonctions dérivables.
    \[\begin{array}{rl} f'(x) &= \ln(x+1) + \dfrac{x+1}{x+1} – 3 \\ & = \ln(x+1) + 1 – 3 \\ & = \ln(x+1) – 2
    \end{array}\]
    \(\quad\)
  3. En déduire les variations de \(f\) sur l'intervalle \([0~;~20]\), et dresser son tableau de variation.
  4. \[\begin{array}{rl} f'(x) \ge 0 & \iff \ln(x+1) – 2 \ge 0 \\ &\iff \ln(x+1) \ge 2 \\ & \iff x+ 1 \ge \text{e}^2 \\\
    & \iff x \ge \text{e}^2 – 1
    \end{array}\]
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

    \(f\left(\text{e}^2-1\right)= (\text{e}^2-1 + 1)\ln (\text{e}^2-1 + 1) - 3\left(\text{e}^2-1\right) + 7 = 10-\text{e}^2\approx 2,61\)
    \(f(20) = 21\ln(21) -53 \approx 10,93\)
  5. Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe \(\mathcal{C}\) au point d'abscisse \(0\)
  6. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe \(\mathscr{C}\) au point d’abscisse \(0\) est :
    \(f'(0) = -2\).


    La valeur absolue de ce coefficient est appelée l'inclinaison du module de skateboard au point B.

  7. On admet que la fonction \(g\) définie sur l'intervalle \([0~;~20]\) par \[g(x) = \dfrac{1}{2}(x + 1)^2 \ln (x + 1) - \dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{1}{2}x\]a pour dérivée la fonction \(g'\) définie sur l'intervalle \([0~;~20]\) par \(g'(x) = (x + 1)\ln (x + 1)\).
    Déterminer une primitive de la fonction \(f\) sur l'intervalle [0~;~20].
  8. Tout d'abord on remarque que \[f(x)= g'(x)-3x+7\]

    Une primitive de \(f\) est \(F\) définie sur \([0;20]\) par
    \[\begin{array}{rl} F(x)& = g(x) – \dfrac{3}{2}x^2 + 7x\\ &=\dfrac{1}{2}(x+1)^2\ln(x+1) – \dfrac{1}{4}x^2 – \dfrac{1}{2}x – \dfrac{3}{2}x^2 + 7x \\ &= \dfrac{1}{2}(x+1)^2\ln(x+1) -\dfrac{7}{4}x^2 + \dfrac{13}{2}x \end{array}\]

Partie 2


Les trois questions de cette partie sont indépendantes

  1. Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier les réponses.
    • P\(_1\) : La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres.
    • P\(_2\) : L'inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en B qu'en C.
  2. La différence entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est :
    \(f(20) – f\left(\text{e}^2-1\right) \approx 8,32\)
    L’affirmation \(P_1\) est donc vraie. \(f'(20) = \ln(21) – 2 \approx 1,04\)
    L’inclinaison au point \(C\) est de \(2\) et celle en \(B\) est d’environ \(1,04 \approx \dfrac{2}{1}\).
    L’affirmation \(P_2 \) est donc vraie
  3. On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d'une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5 m\(^2\) par litre. Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.
  4. L’aire de la surface \(OBCD\) correspond à l’aire du domaine situé entre la courbe \(\mathscr{C}\) et l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=0\) et \(x=20\).
    Il s’agit donc, en mètres carré, de
    \[\begin{array}{rl} A_1 &= \displaystyle \int_0^{20} f(x) \\ &= F(20) – F(0) \\ &= \dfrac{21^2\ln(21)}{2} -700+130\\ &= \dfrac{21^2\ln(21)}{2} -570\\ &= \dfrac{441\ln(21)}{2} – 570 \end{array}\]
    L’aire de \(OAB’B\) est \(A_2 = 10 \times 7 = 70 \text{ m}^2\)
    L’aire de \(DD’C’C\) est \(A_3 = 10 \times f(20) \approx 109,3 \text{ m}^2\).
    La surface a peindre est donc de \(2\times A_1 + A_2+A_3 \approx 381,9 \text{ m}^2\).
    Or \(\dfrac{381,9}{5} \approx 76,38\).
    Il faut donc prévoir au minimum \(77\) litres de peinture.
    \(\quad\)
  5. On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module. Afin de déterminer une valeur approchée de l'aire de la partie à peindre, on considère dans le repère (O, I, J) du plan de face, les points \(B_k(k~;~f(k))\) pour \(k\) variant de 0 à 20. Ainsi, \(B_0 =\) B.
    On décide d'approcher l'arc de la courbe \(\mathcal{C}\) allant de \(B_k\) à \(B_{k+1}\) par le segment \(\left[B_kB_{k+1}\right]\). Ainsi l'aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type \(B_k B_{k+1} B'_{k+1}B_k\) (voir figure).
    1. Montrer que pour tout entier \(k\) variant de 0 à 19, \(B_kB_{k+1} = \sqrt{1 + [f(k + 1) - f(k)]^2}\).
    2. On a \(\vec{B_kB_{k+1}}:\begin{pmatrix} k+1-k\\ f(k+1)-f(k) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ f(k+1)-f(k) \end{pmatrix}\) \[\begin{array}{rl} B_kB_{k+1} & = \sqrt{(k+1 – k)^2 + \left(f(k+1) – f(k)\right)}^2 \\ & = \sqrt{1 + \left(f(k+1) – f(k)\right)^2}
      \end{array}\]
    3. Compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche une estimation de l'aire de la partie roulante. \[\begin{array}{ |l|l|}\hline \text{Variables} &S : \text{ réel }\\ &K : \text{ entier }\\ \text{Fonction } &f : \text{définie par } f(x) = (x + 1)\ln(x + 1)- 3x + 7\\ \hline \text{Traitement }&S \text{ prend pour valeur } 0\\ &\text{ Pour } K \text{ variant de } \ldots \text{ à } \ldots\\ &\hspace{1cm}S \text{ prend pour valeur } \ldots \ldots\\ &\text{ Fin Pour }\\ \hline \text{ Sortie } &\text{ Afficher } \ldots\\ \hline \end{array}\]
    4. \[\begin{array}{ |l|l|}\hline \text{Variables} &S : \text{ réel }\\ &K : \text{ entier }\\ \text{Fonction } &f : \text{définie par } f(x) = (x + 1)\ln(x + 1)- 3x + 7\\ \hline \text{Traitement }&S \text{ prend pour valeur } 0\\ &\text{ Pour } K \text{ variant de } 0\text{ à }19\\ &\hspace{1cm}S \text{ prend pour valeur } S + 10\sqrt{1 + \left(f(k+1) – f(k)\right)^2}\\ &\text{ Fin Pour }\\ \hline \text{ Sortie } &\text{ Afficher } S\\ \hline \end{array}\]
 

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