Baccalauréat S Pondichéry 22 avril 2016: Fonction ln avec prise d'initiative

oui
non
S
Année 2016
Pondichéry
Prise d'initiative,Fonction ln

Exercice 4 3 points


Commun à tous les candidats

Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0~;~14]\) par \[f(x) = 2 - \ln\left(\dfrac{x}{2}\right).\]La courbe représentative \(\mathcal{C}_f\) de la fonction \(f\) est donnée dans le repère orthogonal d'origine O ci-dessous :

À tout point \(M\) appartenant à \(\mathcal{C}_f\) on associe le point \(P\) projeté orthogonal de \(M\) sur l'axe des abscisses, et le point \(Q\) projeté orthogonal de \(M\) sur l'axe des ordonnées.

  1. L'aire du rectangle O\(PMQ\) est-elle constante quelle que soit la position du point \(M\) sur \(\mathcal{C}_f\) ?
  2. L'aire du rectangle O\(PMQ\) peut-elle être maximale ? Si oui, préciser les coordonnées du point \(M\) correspondant.

Justifier les réponses.

 
 

Correction de l'exercice 4 3 points


Commun à tous les candidats

 

Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0~;~14]\) par \[f(x) = 2 - \ln\left(\dfrac{x}{2}\right).\]La courbe représentative \(\mathcal{C}_f\) de la fonction \(f\) est donnée dans le repère orthogonal d'origine O ci-dessous :

À tout point \(M\) appartenant à \(\mathcal{C}_f\) on associe le point \(P\) projeté orthogonal de \(M\) sur l'axe des abscisses, et le point \(Q\) projeté orthogonal de \(M\) sur l'axe des ordonnées.

  • L'aire du rectangle O\(PMQ\) est-elle constante quelle que soit la position du point \(M\) sur \(\mathcal{C}_f\) ?
  • L'aire du rectangle O\(PMQ\) peut-elle être maximale ? Si oui, préciser les coordonnées du point \(M\) correspondant.

Justifier les réponses.

On a \(O(0;0)\), \(P(x;0)\), \(M(x;f(x))\) et \(Q(0;f(x))\).
Donc l’aire du rectangle \(OPMQ\) est \(\mathscr{A}(x)=xf(x)=2x-x\ln \left(\dfrac{x}{2}\right)\).

Cette fonction \(\mathscr{A}\) définie sur \(]0;14]\) est dérivable sur cet intervalle en tant que somme et produits de fonctions dérivables sur cet intervalle.
\(\mathscr{A}'(x)=2-\ln \left(\dfrac{x}{2}\right)-x\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{\dfrac{x}{2}}=1-\ln \left(\dfrac{x}{2}\right)\).

Or :
\(\begin{align*} 1-\ln \left(\dfrac{x}{2}\right) = 0 &\Leftrightarrow \ln \left(\dfrac{x}{2}\right) = 1 \\
&\Leftrightarrow \dfrac{x}{2}=\text{e}\\
&\Leftrightarrow x=2\text{e}
\end{align*}\)
De même :
\(\begin{align*} 1-\ln \left(\dfrac{x}{2}\right) > 0 &\Leftrightarrow \ln \left(\dfrac{x}{2}\right) < 1 \\
&\Leftrightarrow \dfrac{x}{2}<\text{e} \\
&\Leftrightarrow x<2\text{e}
\end{align*}\)

Ainsi la fonction \(\mathscr{A}\) admet un maximum pour \(x=2\text{e}\).
\(f\left(2\text{e}\right)=2-\ln\left(\dfrac{2e}{2}\right)=2-\ln \text{e} = 1\).

Par conséquent l’aire du rectangle \(OPMQ\) n’est pas constante. Elle peut être maximale. Cela se produit pour \(M(2\text{e};1)\)
\(\quad\)

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