Baccalauréat S Antilles Guyane 22 juin 2015 : Fonction ln

Correction de l'exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\) par \(f(x) = \ln x\). Pour tout réel \(a\) strictement positif, on définit sur \(]0~;~+ \infty[\) la fonction \(g_a\) par \(g_a(x) = ax^2\). On note \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de la fonction \(f\) et \(\Gamma_a\) celle de la fonction \(g_a\) dans un repère du plan. Le but de l'exercice est d'étudier l'intersection des courbes \(\mathcal{C}\) et \(\Gamma_a\) suivant les valeurs du réel strictement positif \(a\).

Partie A

On a construit( en annexe 1 à rendre avec la copie ) les courbes \(\mathcal{C}\), \(\Gamma_{0,05}\), \(\Gamma_{0,1}\), \(\Gamma_{0,19}\) et \(\Gamma_{0,4}\).

1. Nommer les différentes courbes sur le graphique. Aucune justification n'est demandée.

2. Utiliser le graphique pour émettre une conjecture sur le nombre de points d'intersection de\(\mathcal{C}\) et \(\Gamma_a\) suivant les valeurs (à préciser) du réel \(a\).
Il semblerait que :
– si \(0<a<0,19\), \(\mathscr{C}\) et \(\Gamma_a\) ont deux points d’intersection
– si \(a=0,19\), \(\mathscr{C}\) et \(\Gamma_a\) ont un point d’intersection
– si \(a > 0,19\), \(\mathscr{C}\) et \(\Gamma_a\) n’ont aucun point d’intersection

Partie B

Pour un réel \(a\) strictement positif, on considère la fonction \(h_a\) définie sur l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\) par \[h_a(x) = \ln x - ax^2.\]

1. Justifier que \(x\) est l'abscisse d'un point \(M\) appartenant à l'intersection de \(\mathcal{C}\) et \(\Gamma_a\) si et seulement si \(h_a (x) = 0.\)
Soit \(x\) l’abscisse d’un point M appartenant à l’intersection de \(\mathscr{C}\) et \(\Gamma_a\)
On a donc \(f(x) = g_a(x) \iff f(x) – g_a(x)=0 \iff \ln x – ax^2 = 0\).

2. 1. On admet que la fonction \(h_a\) est dérivable sur \(]0~;~+ \infty[\), et on note \(h'_a\) la dérivée de la fonction \(h_a\) sur cet intervalle. Le tableau de variation de la fonction ha est donné ci-dessous. Justifier, par le calcul, le signe de \(h'_a(x)\) pour \(x\) appartenant à \(]0~;~+ \infty[\).
      
   D’après l »énoncé, \(h_a\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\).
   \(h'(x) = \dfrac{1}{x} – 2ax = \dfrac{1 – 2ax^2}{x}\)
   \(\quad\)
   \[\begin{array}{rl} h'(x) \ge 0 &\iff 1 – 2ax^2 \ge 0 \\ & \iff \left(1 – \sqrt{2a}x\right)\left(1 + \sqrt{2a}x\right) \ge 0 \\ & \iff \left(1 – \sqrt{2a}x\right) \ge 0 \quad \text{ car } \left(1 + \sqrt{2a}x\right) > 0 \\\ & \iff 1 \ge \sqrt{2a}x \\ & \iff x \le \dfrac{1}{\sqrt{2a}}\end{array}\]
   Ainsi \(h'(a) > 0\) sur \(\left]0;\dfrac{1}{\sqrt{2a}} \right[\)
   \(h'\left(\dfrac{1}{\sqrt{2a}}\right) = 0 \)
   \(h'(a)<0\) sur \(\left]\dfrac{1}{\sqrt{2a}};+\infty\right[\)
   \(\quad\)
   
   2. Rappeler la limite de \(\frac{\ln x}{x}\) en \(+ \infty\). En déduire la limite de la fonction \(h_a\) en \(+ \infty\). On ne demande pas de justifier la limite de \(h_a\) en \(0\).
   \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} =0\)
   \(\quad\)
   \(h_a(x) =x\left(\dfrac{\ln x}{x} – ax\right)\)
   \(\lim\limits_{x \to +\infty} -ax = -\infty\) car \(a> 0\)
   Donc \(\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\dfrac{\ln x}{x} – ax\right) = -\infty\)
   Finalement \(\left(\dfrac{\ln x}{x} – ax\right) h_a(x) = -\infty\)
3. Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que \(a = 0,1\).
   1. Justifier que, dans l'intervalle \(\left]0~;~\frac{1}{\sqrt{0,2}}\right]\), l'équation \(h_{0,1}(x) = 0\) admet une unique solution. On admet que cette équation a aussi une seule solution dans l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\).

    

   $$ \newcommand{\mtn}{\mathbb{N}} \newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*} \newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mtr}{\mathbb{R}} \newcommand{\mtk}{\mathbb{K}} \newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\mch}{\mathcal{H}} \newcommand{\mcp}{\mathcal{P}} \newcommand{\mcb}{\mathcal{B}} \newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)} \newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}} \newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\ic}{\text{i}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}} \newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect} \DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat} \DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg} \DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![} \newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)} \newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} \newcommand{\GR}{\mathbb{R}} $$

   D'après le théorème de la bijection :

   • \(h_{0,1} \) est une fonction dérivable (donc continue) sur l' intervalle \(I = \left]0 ; \frac{1}{\sqrt{0,2}\\right]\).
   • \(h_{0,1}\) est strictement croissante sur l' intervalle \(I = \left]0 ; \frac{1}{\sqrt{0,2}\\right]\).
   • \(\lim\limits_{x \to 0}~h_{0,1}(x)=\4\) et \(h_{0,1} \left(\frac{1}{\sqrt{0,2}\\right)=\5\)

   \(h_{0,1}\) réalise donc une bijection de \(\left]0 ; \frac{1}{\sqrt{0,2}\\right]\) sur \(\left]\4;\5\right]\)
   \(\6\in \left]\4;\5\right]\),
   donc l'équation \(h_{0,1}(x) = \6 \) a une racine unique \(\7\) dans \(\left]0 ; \frac{1}{\sqrt{0,2}\\right]\) .

    

   |-\infty|\frac\{\ln 5 -1\}\{2\}|0|\alpha}
   2. Quel est le nombre de points d'intersection de \(\mathcal{C}\) et \(\Gamma_{0,1}\) ?
L’équation \(h_{0,1} = 0\) possède une solution sur chacun des intervalles \(\left]0;\dfrac{1}{\sqrt{0,2}}\right]\) et \(\left]\dfrac{1}{\sqrt{0,2}};+\infty\right[\).
Ainsi \(\mathscr{C}\) et \(\Gamma_{0,1}\) ont deux points d’intersection.

4. Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que \(a = \frac{1}{2\text{e}}\).
   1. Déterminer la valeur du maximum de \(h_{\frac{1}{2\text{e}}}\).
   \(h_{\frac{1}{2\text{e}}}\left(\sqrt{ \text{e}}\right)= \dfrac{-1 – \ln \text{e}^{-1}}{2} = \dfrac{-1 +1}{2} = 0\).
   
   2. En déduire le nombre de points d'intersection des courbes \(\mathcal{C}\) et \(\Gamma_{\frac{1}{2\text{e}}}\). Justifier.
   La fonction \(h_{\frac{1}{2\text{e}}}\) admet donc \(0\) comme maximum, atteint seulement en \(\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{2\text{e}}}} = \sqrt{\text{e}}\).
   Ainsi \(\mathscr{C}\) et \(\Gamma_{\frac{1}{2\text{e}}}\) n’ont qu’un seul point d’intersection.
5. Quelles sont les valeurs de \(a\) pour lesquelles \(\mathcal{C}\) et \(\Gamma_{a}\) n'ont aucun point d'intersection ? Justifier.
\(\mathscr{C}\) et \(\Gamma_a\) n’ont aucun point d’intersection
\[\begin{array}{rl} &\iff \dfrac{-1 – \ln(2a)}{2} <0 \\ &\iff -1 – \ln(2a) < 0 \\ &\iff -\ln(2a) < 1 \\ & \iff \ln(2a) > -1 \\ & \iff 2a > \text{e}^{-1} \\ & \iff a > \dfrac{1}{2\text{e}}\end{array}\]