Baccalauréat S Centres étrangers 10 juin 2015 : Fonction ln et calcul intégral

oui
non
S
Année 2015
Centres étrangers
Fonction ln

Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Les parties A et B sont indépendantes
Le fabricant de cadenas de la marque « K » désire imprimer un logo pour son entreprise.
Ce logo a la forme d'une lettre majuscule K stylisée, inscrite dans un carré ABCD, de côté une unité de longueur, et respectant les conditions C1 et C2 suivantes:
\(\bullet~~\)Condition C1 : la lettre K doit être constituée de trois lignes :

  • une des lignes est le segment [AD] ;
  • une deuxième ligne a pour extrémités le point A et un point E du segment [DC] ;
  • la troisième ligne a pour extrémité le point B et un point G situé sur la deuxième ligne.

\(\bullet~~\)Condition C2 : l'aire de chacune des trois surfaces délimitées par les trois lignes dessinées dans h le carré doit être comprise entre \(0,3\) et \(0,4\), l'unité d'aire étant celle du carré. Ces aires sont notées \(r\), \(s\), \(t\) sur les figures ci-après.
Un atelier de design propose deux dessins possibles, représentés ci-dessous:

Pour mener les études qui suivent, on se place dans le repère orthonormé \(\left(\text{A}~;~\vec{\text{AB}},~\vec{\text{AD}}\right)\).

 

Partie A : étude de la proposition A

Dans cette proposition les trois lignes sont des segments et les trois aires sont égales : \(r = s = t = \dfrac{1}{3}\).
Déterminer les coordonnées des points E et G.

Partie B : étude de la proposition B


Cette proposition est caractérisée par les deux modalités suivantes:
\(\bullet~~\)la ligne d'extrémités A et E est une portion de la représentation graphique de la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x \geqslant 0\) par : \(f(x) = \ln (2x + 1)\) ;
\(\bullet~~\)la ligne d'extrémités B et G est une portion de la représentation graphique de la fonction \(g\) définie pour tout réel \(x > 0\) par : \(g(x) = k\left(\dfrac{1 - x}{x}\right)\), où \(k\) est un réel positif qui sera déterminé.

 

    1. Déterminer l'abscisse du point E.
    2. Déterminer la valeur du réel \(k\), sachant que l'abscisse du point G est égale à \(0,5\).
    1. Démontrer que la fonction \(f\) admet pour primitive la fonction \(F\) définie pour tout réel \(x \geqslant 0\) par : \[F(x) = (x + 0,5) \times \ln (2x + 1) - x.\]
    2. Démontrer que \(r = \dfrac{\text{e}}{2} - 1\).
  1. Déterminer une primitive \(G\) de la fonction \(g\) sur l'intervalle \(]0~:~+ \infty[\).
  2. On admet que les résultats précédents permettent d'établir que \(s = [\ln(2)]^2 + \dfrac{\ln (2) - 1}{2}\). La proposition B remplit-elle les conditions imposées par le fabricant?

 

 

Correction de l'exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Les parties A et B sont indépendantes
Le fabricant de cadenas de la marque « K » désire imprimer un logo pour son entreprise.
Ce logo a la forme d'une lettre majuscule K stylisée, inscrite dans un carré ABCD, de côté une unité de longueur, et respectant les conditions C1 et C2 suivantes:
\(\bullet~~\)Condition C1 : la lettre K doit être constituée de trois lignes :

  • une des lignes est le segment [AD] ;
  • une deuxième ligne a pour extrémités le point A et un point E du segment [DC] ;
  • la troisième ligne a pour extrémité le point B et un point G situé sur la deuxième ligne.

\(\bullet~~\)Condition C2 : l'aire de chacune des trois surfaces délimitées par les trois lignes dessinées dans h le carré doit être comprise entre \(0,3\) et \(0,4\), l'unité d'aire étant celle du carré. Ces aires sont notées \(r\), \(s\), \(t\) sur les figures ci-après.
Un atelier de design propose deux dessins possibles, représentés ci-dessous:

Pour mener les études qui suivent, on se place dans le repère orthonormé \(\left(\text{A}~;~\vec{\text{AB}},~\vec{\text{AD}}\right)\).

 

Partie A : étude de la proposition A
Dans cette proposition les trois lignes sont des segments et les trois aires sont égales : \(r = s = t = \dfrac{1}{3}\).
Déterminer les coordonnées des points E et G.

L’aire du triangle \(ADE\) est donnée par \(\dfrac{AD \times DE}{2}\). Or \(AD = 1\)
Par conséquent \(\dfrac{DE}{2} = \dfrac{1}{3}\). D’où \(DE = \dfrac{2}{3}\).
Ainsi le point \(E\) a pour coordonnées \(\left(\dfrac{2}{3};1\right)\)

\(\quad\)

On appelle \(G’\) le pied de la hauteur issue de \(G\) dans le triangle \(AGB\).
Son aire est \(\dfrac{GG’ \times AB}{2}\). Avec \(AB = 1\)
Par conséquent \(\dfrac{GG’}{2} = \dfrac{1}{3}\).
Donc \(GG’ = \dfrac{2}{3}\)

La droite \((AE)\) a pour équation \(y=\dfrac{3}{2}x\).
L’abscisse \(x\) du point \(G\) vérifie donc l’équation \(\dfrac{2}{3}=\dfrac{3}{2}x\).
Donc \(x = \dfrac{4}{9}\).
Par conséquent le point \(G\) a pour coordonnées \(\left(\dfrac{4}{9};\dfrac{2}{3}\right)\)

\(\quad\)

 

Partie B : étude de la proposition B


Cette proposition est caractérisée par les deux modalités suivantes:
\(\bullet~~\)la ligne d'extrémités A et E est une portion de la représentation graphique de la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x \geqslant 0\) par : \(f(x) = \ln (2x + 1)\) ;
\(\bullet~~\)la ligne d'extrémités B et G est une portion de la représentation graphique de la fonction \(g\) définie pour tout réel \(x > 0\) par : \(g(x) = k\left(\dfrac{1 - x}{x}\right)\), où \(k\) est un réel positif qui sera déterminé.

 

    1. Déterminer l'abscisse du point E.
    2. L’abscisse \(x\) du point \(E\) vérifie :
      \[\begin{array}{rl} \ln(2x+1) = 1 &\iff 2x + 1 = \text{e} \\ &\iff 2x =\text{e} – 1 \\ &\iff x=\dfrac{\text{e} – 1}{2} \end{array}\]
      \(\quad\)
    3. Déterminer la valeur du réel \(k\), sachant que l'abscisse du point G est égale à \(0,5\).
    4. Le point \(G\) appartient à la courbe représentative de la fonction \(f\).
      Ainsi son ordonnée est :
      \[ y=\ln (2 \times 0,5 + 1) = \ln 2\].
      Par conséquent
      \[\begin{array}{rl} g(0,5) = \ln 2 & \iff k \left(\dfrac{1 – 0,5}{0,5}\right) = \ln 2 \\ & \iff k = \ln 2 \end{array}\]
      \(\quad\)
    1. Démontrer que la fonction \(f\) admet pour primitive la fonction \(F\) définie pour tout réel \(x \geqslant 0\) par : \[F(x) = (x + 0,5) \times \ln (2x + 1) - x.\]
    2. La fonction \(F\) est dérivable sur \([0;+\infty[\) en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
      \[\begin{array}{rl} F'(x) &= \ln(2x+1) + 2(x+0,5) \times \frac{1}{2x+1} – 1 \\ & = \ln(2x+1) + \dfrac{2x + 1}{2x+1} – 1 \\ & = \ln(2x+1) + 1 – 1 \\ & = f(x) \end{array}\]
      la fonction \(F\) est donc une primitive de la fonction \(f\) sur \([0;+\infty[\).
    3. Démontrer que \(r = \dfrac{\text{e}}{2} - 1\).
    4. \(r\) est du domaine délimité par les courbes des fonctions \(f\) et \(x \mapsto 1\) et les droites d’équation \(x=0\) et \(x= \dfrac{\text{e} – 1}{2}\) qui sont continues sur \(\mathbb R^+\) donc sur \(\left[ 0; \dfrac{\text{e} – 1}{2}\right]\); de plus sur cet intervalle la droite \(D : y=1\) est située au dessus de \(C_f\)
      Ainsi :
      \[\begin{array}{rl} r &=\displaystyle \int_0^{\frac{\text{e} – 1}{2}} \left(1 – f(x)\right)\mathrm{d}x \\ &=\displaystyle \int_0^{\frac{\text{e} – 1}{2}} \left(1 – \ln(2x+1)\right)\mathrm{d}x \\ & = \left[x – F(x)\right]_0^{\frac{\text{e} – 1}{2}} \\ &= \dfrac{\text{e} – 1}{2} – \left[\left(\dfrac{\text{e} – 1}{2}+0,5\right)\ln \left(2\dfrac{\text{e} – 1}{2}+1\right) – \dfrac{\text{e} – 1}{2}\right] \\ &= \dfrac{\text{e} – 1}{2} – \dfrac{\text{e} }{2} + \dfrac{\text{e} – 1}{2} \\ & = \dfrac{\text{e} }{2} – 1 \end{array}\]
  1. Déterminer une primitive \(G\) de la fonction \(g\) sur l'intervalle \(]0~:~+ \infty[\).
  2. On a \(g(x) = \ln(2) \left(\dfrac{1}{x} – 1\right)\).
    La fonction \(g\) est continue sur \(]0;+\infty[\).
    Une primitive \(G\) est définie sur cet intervalle par :
    \[G(x) = \ln(2) \left(\ln(x) – x\right)\]
  3. On admet que les résultats précédents permettent d'établir que \(s = [\ln(2)]^2 + \dfrac{\ln (2) - 1}{2}\). La proposition B remplit-elle les conditions imposées par le fabricant?
  4. On a \(r \approx 0,359\) et \(s \approx 0,327\). Ainsi \(t = 1 -r -s \approx 0,314\).
    La proposition B vérifie donc les conditions imposées par le fabriquant.

 

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