BAC STI2D NOUVELLE CALÉDONIE 2013 Fonction ln

oui
non
STI2D
Année 2013
Nouvelle Calédonie
Fonction ln

Exercice 3 7 points


Fonctions logarithmes

Partie A

\(f\) est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle \(]0 ; +\infty[\). \(f'\) désigne la fonction dérivée de \(f\).

  • \(\mathcal{C}\) est la représentation graphique de la fonction \(f\) dans un repère orthonormal.
  • \(T\) est la tangente à \(\mathcal{C}\) au point de coordonnées \((1 ; -1)\). \(T\) passe par le point de coordonnées \((0;1)\).

    1. Par lecture graphique, déterminer \(f(1)\).
    2. Déterminer \(f'(1)\).
    3. Donner une équation de \(T\).
  1. On sait que \(f(x)\) est de la forme \(f(x) = 2\ln x+ \dfrac{a}{x} + b\) où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels.
    1. Calculer \(f'(x)\).
    2. Déterminer alors les valeurs de \(a\) et \(b\).

Partie B

Soit la fonction \(f\) définie et dérivable sur \(]0 ; +\infty[\) par \(f(x) = 2\ln x + \dfrac{4}{x} - 5\).

    1. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)\).
    2. On admet que \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty\). Que peut-on en déduire graphiquement ?
    1. Pour tout nombre réel \(x\) appartenant à \(]0 ; +\infty[\), vérifier que \(f'(x) = \dfrac{2x - 4}{x^2}\).
    2. Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \(]0 ; +\infty[\).
  1. Établir le tableau de variations de \(f\) sur \(]0 ; +\infty[\).
  2. En précisant votre démarche, donner le nombre de solution(s) de l'équation \(f(x) = 0\), pour \(x\) appartenant à \(]0 ; +\infty[\).
    1. Donner le signe de \(f(x)\) pour \(x\) appartenant à \([1 ; 3]\).
    2. On admet que la fonction \(F\) définie pour \(x\) appartenant à \(]0 ; +\infty[\) par \(F(x) = (2x + 4) \ln x - 7x\) est une primitive de \(f\). Déterminer l'aire \(\mathcal{A}\) du domaine limité par la courbe \(\mathcal{C}\), l'axe des abscisses et les droites d'équation \(x = 1\) et \(x = 3\) en unités d'aires. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à \(10^{-2}\) près de \(\mathcal{A}\).
 
 

Correction de l'exercice 3 (7 points)


Fonctions logarithmes

Partie A

\(f\) est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle \(]0 ; +\infty[\). \(f'\) désigne la fonction dérivée de \(f\).

  • \(\mathcal{C}\) est la représentation graphique de la fonction \(f\) dans un repère orthonormal.
  • \(T\) est la tangente à \(\mathcal{C}\) au point de coordonnées \((1 ; -1)\). \(T\) passe par le point de coordonnées \((0;1)\).

    1. Par lecture graphique, déterminer \(f(1)\).
    2. On lit \(f(1) \approx - 1\).
      \(f(1)=- 1\).
    3. Déterminer \(f'(1)\).
    4. \(f'(1)\) est le coefficient directeur de la tagente \(T\) à \(\mathcal{C}\) au point de coordonnées \((1 ; -1)\).
      On lit \(f'(1) = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-2}{1} = - 2\).
      \(f'(1)=- 2\).
    5. Donner une équation de \(T\).
      • Méthode 1 : Son coefficient directeur est égal à \(- 2\) et son ordonnée à l'origine 1 ; l'équation de \(\mathcal{T}\) est donc \(y = - 2x + 1\).
      • Méthode 2 :

        La tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a= 1$ a pour équation : $$y=f'(1)(x-1)+f(1)$$ Ici $a= 1$, on calcule successivement :

        • $f\left(1 \right)=-1$
        • $f'\left (1\right )=-2$

        Ainsi $T:y=-2\left (x-1\right )+-1$


        l'équation de \(\mathcal{T}\) est donc \(y = - 2x + 1\).
  1. On sait que \(f(x)\) est de la forme \(f(x) = 2\ln x+ \dfrac{a}{x} + b\) où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels.
    1. Calculer \(f'(x)\).
    2. \(f'(x) = 2\times\dfrac{1}{x} - \dfrac{a}{x^2} = \dfrac{2x - a}{x^2}\).
    3. Déterminer alors les valeurs de \(a\) et \(b\).
    4. On sait que \(f'(1) = - 2\) soit \(\dfrac{2\times 1 - a}{1^2} = - 2 \iff 2 - a = - 2 \iff a = 4\).
      Donc \(f(x) = 2\ln x + \dfrac{4}{x} + b\). mais on sait que \(f(1) = - 1\), soit \(2\ln 1 + \dfrac{4}{1} + b = - 1 \iff b = - 1 - 4 = - 5\).
      Finalement : \(f(x) = 2\ln x + \dfrac{4}{x} - 5\).

Partie B

Soit la fonction \(f\) définie et dérivable sur \(]0 ; +\infty[\) par \(f(x) = 2\ln x + \dfrac{4}{x} - 5\).

    1. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)\).
    2. On sait que \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty\) et que \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{4}{x}\), d'où par somme de limites \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty\).
    3. On admet que \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty\). Que peut-on en déduire graphiquement ?
    4. \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty\) signifie que l'axe des ordonnées est asymptote verticale à \(\mathcal{C}\) au voisinage de zéro.
    1. Pour tout nombre réel \(x\) appartenant à \(]0 ; +\infty[\), vérifier que \(f'(x) = \dfrac{2x - 4}{x^2}\).
    2. On a \(f'(x) = 2 \times \dfrac{1}{x} - \dfrac{4}{x^2} = \dfrac{2x - 4}{x^2}\).
    3. Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \(]0 ; +\infty[\).
  1. Établir le tableau de variations de \(f\) sur \(]0 ; +\infty[\).
  2. Comme \(x^2 > 0\) si \(x \in ]0~;~ +\infty[\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(2x - 4\) qui est positif si \(x > 2\).
    Conclusion :
    • \(f'(x) > 0\) sur \(]2~;~+ \infty[\) ;
    • \(f'(x) < 0 sur ]0~;~2[\) ;
    • \(f'(2) = 0\).
  3. En précisant votre démarche, donner le nombre de solution(s) de l'équation \(f(x) = 0\), pour \(x\) appartenant à \(]0 ; +\infty[\).
  4. Comme \(2\ln 2 - 3 \approx - 1,62\) est inférieur à zéro, la fonction décroissant de plus l'infini à \(2\ln 2 - 3\) s'annule une fois sur l'intervalle ]0~;~2[, puis croissant de \(2\ln 2 - 3\) à plus l'infini s'annule une autre fois sur l'intervalle \(]2~;~+ \infty[\). L'équation \(f(x) = 0\), pour \(x\) appartenant à \(]0~;~ +\infty[\) a donc deux solutions \(\alpha\) et \(\beta\).
    1. Donner le signe de \(f(x)\) pour \(x\) appartenant à \([1 ; 3]\).
    2. On a \(f(1) = 2 \times 0 \dfrac{4}{1} - 5 = - 1\) et \(f(3) = 2 \ln 3 + \dfrac{4}{3} - 5 = 2\ln 3 - \dfrac{11}{3} \approx - 1,47\).
      Donc sur l'intervalle \([1~;~3]\), \(f\) ne prend que des valeurs négatives.
    3. On admet que la fonction \(F\) définie pour \(x\) appartenant à \(]0 ; +\infty[\) par \(F(x) = (2x + 4) \ln x - 7x\) est une primitive de \(f\). Déterminer l'aire \(\mathcal{A}\) du domaine limité par la courbe \(\mathcal{C}\), l'axe des abscisses et les droites d'équation \(x = 1\) et \(x = 3\) en unités d'aires. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à \(10^{-2}\) près de \(\mathcal{A}\).
    4. On a vu que sur l'intervalle [1~;~3], \(f\) est négative, donc l'aire \(\mathcal{A}\) du domaine limité par la courbe \(\mathcal{C}\), l'axe des abscisses et les droites d'équation \(x = 1\) et \(x = 3\) est égale à \[\begin{array}{ll}\mathcal{A} = & \displaystyle\int_{1}^3 -f(x)\:\text{d}x \\ &= - \left[F(3) - F(1) \right] \\ &= F(1) - F(3) \\ &= (2\times 1 + 4) \ln 1 - 7\times 1 - \left[(2\times 3 + 4) \ln 3 - 7\times 3 \right] \\ &= - 7 - 10\ln 3 + 21 \\ &= 14 - 10\ln 3 ~\text{(unités d'aire).} \end{array}\]
      On a \(\mathcal{A} = 14 - 10\ln 3 \approx 3,01\)~unités d'aire.

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