BAC S 2014 ANTILLES-GUYANE : Problème ouvert

Correction de l'exercice 3 (3 points)

Commun à tous les candidats

Fonctions

On considère l'équation \(\left(E_{1}\right)\) : \[\text{e}^x - x^n = 0\]où \(x\) est un réel strictement positif et \(n\) un entier naturel non nul.

1. Montrer que l'équation \(\left(E_{1}\right)\) est équivalente à l'équation \(\left(E_{2}\right)\) : \[\ln (x) - \dfrac{x}{n} = 0.\]
\[\begin{array} {ll}\text{e}^x – x^n = 0 &\Leftrightarrow \text{e}^x=x^n \\ &\Leftrightarrow x = n \ln (x) \\ &\Leftrightarrow \ln(x) = \dfrac{x}{n} \\ &\Leftrightarrow \ln(x) – \dfrac{x}{n} = 0 \end{array}\]

2. Pour quelles valeurs de \(n\) l'équation \(\left(E_{1}\right)\) admet-elle deux solutions ?
Soit \(f_n\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f_n(x)=\ln(x) – \dfrac{x}{n}\).
Cette fonction est dérivable sur \(]0;+\infty[\) en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
\(f_n'(x) = \dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{n}= \dfrac{n}{nx} – \dfrac{x}{nx}=\dfrac{n-x}{nx}\).
On travaille sur \(]0; +\infty[\), donc \(x>0\), par ailleurs \(n\) est un entier strictement positif;
Ainsi \(f_n'(x)\) a le signe de \(n-x\). \(f_n'(x) >0 \Leftrightarrow x < n\).
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

\(\lim\limits_{x \to 0} \ln(x) = -\infty\) donc \(\lim\limits_{x \to 0} f_n(x) = -\infty\)
\(f(x) = x\left(\dfrac{\ln(x)}{x} – \dfrac{1}{n} \right)\).
Or \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0\) donc \(\lim\limits_{x \to +\infty} f_n(x) = -\infty\).
\(\quad\)
\(\ln n -1 > 0 \Leftrightarrow n > \text{e}\).
Par conséquent si \(n \le 2\), \(f_n(x) < 0\) et l’équation \((E_2)\) n’aura pas de solution.
Si \(n \ge 3\), la fonction \(f_n\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) donc continue .
Sur \(]0;n[\) la fonction est strictement croissante.
\(\lim\limits_{x \to 0} f_n(x) =-\infty\) et \(f_n(n) >0\).
D’après le théorème de la bijection (ou le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation \(f_n(x) = 0\) possède une unique solution.
\(\quad\)
Sur \(]n;+\infty[\), la fonction \(f_n\) est strictement décroissante.
\(f_n(n) >0\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} f_n(x) = -\infty\).
D’après le théorème de la bijection l’équation \(f_n(x)=0\) possède une unique solution.
\(\quad\)
Par conséquent l’équation \((E_2)\), et donc \((E_1)\) possède deux solutions si, et seulement si, \(n \ge 3\)