BAC STI2D Polynésie juin 2014 Une fonction ln

Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par : \[f(x) = 6 \ln x + ax + b\]où \(a\) et \(b\) sont des constantes réelles.
On appelle \(\mathcal{C}_{f}\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal \(\left(\text{O},~\vec{i},\vec{j}\right)\).

• Le point A(1;1) appartient à \(\mathcal{C}_{f}\).


• \(\mathcal{C}_{f}\) admet une tangente horizontale en son point d'abscisse 2.

PARTIE A

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé \(\mathcal{C}_{f}\) (trait plein) ainsi que les courbes \(\Gamma\) et \(\Omega\). L'une de ces deux courbes est la représentation graphique de la fonction dérivée \(f'\) de \(f\) et l'autre représente une primitive \(F\) de \(f\).

1. Indiquer laquelle des deux courbes est la représentation graphique de \(F\).

Dire que \(F\) est une primitive de la fonction \(f\) signifie que pour tout réel \(x\) strictement positif, \(F′(x)=f(x)\). Par conséquent, les variations de la fonction \(F\) se déduisent du signe de de la fonction \(f\).

D'après les variations de la fonction \(F, \Omega\) est la courbe représentative de la fonction \(F\).
2. Par lecture graphique, déterminer \(f(1)\) et \(f'(2)\).

D'après les données de l'énoncé :
• Le point A\((1;1)\) appartient à \(\mathcal{C}_{f}\) donc \(f(1)=1\).
• \(\mathcal{C}_{f}\) admet une tangente horizontale en son point d'abscisse 2 donc \(f′(2)=0\).
3. Donner l'expression de \(f'(x)\) en fonction de \(x\) et de \(a\).


\(f'\) est la fonction définie sur \(]0~;~+\infty[\) par \(f'(x)=\dfrac{6}{x}+a.\)
4. l'aide des résultats précédents, montrer que pour tout \(x\) de l'intervalle \(]0; + \infty[\), \[f(x) = 6\ln x - 3x + 4.\]



• Comme \(f'(2)=0\) alors, \(\dfrac{6}{2}+a=0\) soit \(3+a=0\)
• Comme \(f(1)=1\) alors, \(6 \ln 1 + a \times 1 + b=0\) soit \(a+b=1\)
Ainsi, \(a\) et \(b\) sont solutions du système :\[ \left\lbrace\begin{array}{ll} 3+a&=0\\ ~a+b &=1\\ \end{array} \right.\iff \left\lbrace\begin{array}{ll} a&=-3\\ ~ b &=4\\ \end{array} \right.\]
\(f\) est la fonction définie sur \(]0~;~ + \infty[\) par \(f(x) = 6 \ln x -3x + 4.\)

PARTIE B

Dans cette partie, on pourra vérifier la cohérence des résultats obtenus avec la courbe \(\mathcal{C}_{f}\) fournie dans la partie A.

1. Calculer la limite de la fonction \(f\) lorsque \(x\) tend vers \(0\). Interpréter graphiquement cette limite.

\(\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to 0^+}~\ln x=-\infty\\ \lim\limits_{x \to 0^+}~-3x + 4=4\end{array}\right\}\) par somme on obtient : \(\lim\limits_{x \to 0^+}f(x) = -\infty\)
\(\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = -\infty\) par conséquent, la courbe \(\mathcal{C}_{f}\) admet pour asymptote l'axe des ordonnées.
2. Montrer que pour tout \(x\) de l'intervalle \(]0; + \infty[ , f'(x) = \dfrac{3}{x}(2 - x).\)

Pour tout réel \(x \) de l'intervalle \(]0~;~ + \infty[\) , \(f'(x)= \dfrac{6}{x}-3= \dfrac{3}{x} (2-x)\)
\(f'\) est la fonction définie sur \(]0~;~ + \infty[\) par \(f'(x)= \dfrac{3}{x} (2-x)\).
3. Étudier le signe de \(f'(x)\) puis donner les variations de la fonction \(f\).

Comme \(x > 0\) alors, \(f'(x)\) est du même signe que \(2-x\).
D'où le tableau établissant le signe de \(f'(x)\) ainsi que les variations de la fonction \(f\) :



4. En déduire que la fonction \(f\) admet un extremum dont on calculera la valeur exacte.

D'après les variations de la fonction \(f\), la fonction \(f\) admet un maximum pour \(x=2\) et \(f(2)=6\ln2-2\).
Le maximum de la fonction \(f\) est égal à \(6\ln2-2\).
 

PARTIE C

Soit \(H\) la fonction définie sur \(]0; + \infty[\) par: \[H(x) = 6x\ln x - \dfrac{3}{2}x^2 - 2x.\]

1. Montrer que \(H\) est une primitive de \(f\) sur \(]0; + \infty[\).

Pour tout réel \(x\) de l'intervalle \(]0~;~ + \infty[\), \[ \begin{array}{ll} H'(x)& =6 \times \ln x +6x\times \dfrac{1}{x} -\dfrac{3}{2} \times 2x -2~\\ & =6 \ln x +6-3x-2\\ & =6 \ln x -3x+4\\ & =f(x) \end{array} \]
Pour tout réel \(x\) strictement positif, \(H′(x)=f(x)\). Par conséquent, la fonction \(H\) définie sur\(]0~;~ + \infty[\) par \(H(x) = 6x\ln x - \dfrac{3}{2}x^2 - 2x\) est une primitive de la fonction \(f\).
2. Calculer la valeur exacte de \(I = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{dx}.\)

\[\begin{array}{ll} I&= \displaystyle\int_{1}^{\text{e}}f(x)\:\text{d}x\\ & = \left [ H(x)\right ]_{1}^{\text{e}} \\ & = H(\text{e})-H(1) \\ & = 6\text{e}\ln \text{e} - \dfrac{3}{2}\text{e}^2 - 2\text{e}-\left ( 6 \ln 1 - \dfrac{3}{2} - 2\right )\\ & = - \dfrac{3}{2}\text{e}^2 +4\text{e} + \dfrac{7}{2}\\ \end{array}\]
\[I = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}}f(x)\:\text{d}x = - \dfrac{3}{2}\text{e}^2 +4\text{e} + \dfrac{7}{2} \]
3. Donner une interprétation graphique du nombre \(I\).

Les variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([1;\text{e}]\) sont :


Sur l'intervalle 1e la fonction \(f\) est positive donc l'intégrale \(I = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}}f(x)\:\text{d}x = - \dfrac{3}{2}\text{e}^2 +4\text{e} + \dfrac{7}{2} \) est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe \(\mathcal{C}_{f}\), l'axe des abscisses et les droites d'équation \(x=1\) et \(x=\text{e}\).
4. 1. l'aide du graphique, donner la valeur de \(F(1)\).
   
   
   La courbe \(\Omega\) passe par le point de coordonnées \((1;-8 )\) donc \(F(⁡1)=-8\)
   2. En déduire une expression de \(F(x)\) pour tout \(x\) dans l'intervalle \(]0; + \infty[\).
   
   \(H\) et \(F\) sont deux primitives de la fonction \(f \)donc pour tout réel \(x\) strictement positif, \(F(x)=H(x)+C\) où, \(C\) est un nombre réel. Comme \(F(1)=-8\) alors, \(H(1)+C=-8\iff - \dfrac{3}{2}-2+C =-8\iff C =- \dfrac{9}{2}\)
   \(F\) est la fonction définie sur \(]0~;~ + \infty[\) par \(F(x)= 6x\ln x - \dfrac{3}{2}x^2 - 2x -\dfrac{9}{2}\)