Baccalauréat S Amérique du Sud 21 novembre 2017 Fonction ln

oui
non
S
Année 2017
Amérique du Sud
Fonction ln

Exercice 1 6 points


Commun à tous les candidats


La chocolaterie Delmas décide de commercialiser de nouvelles confiseries : des palets au chocolat en forme de goutte d'eau. Pour cela, elle doit fabriquer des moules sur mesure qui doivent répondre à la contrainte suivante : pour que cette gamme de bonbons soit rentable, la chocolaterie doit pouvoir en fabriquer au moins \(80\) avec \(1\) litre de pâte liquide au chocolat.

Partie A : modélisation par une fonction


Le demi contour de la face supérieure du palet sera modélisé par une portion de la courbe de la fonction \(f\) définie sur \(]0~;~+ \infty[\) par : \[f(x) = \dfrac{x^2 - 2x - 2 - 3\ln x}{x}.\]La représentation graphique de la fonction \(f\) est donnée ci-dessous.

Le repère est orthogonal d'unité \(2\) cm en abscisses et \(1\) cm en ordonnées.

  1. Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \(]0~;~+ \infty[\) par : \[\varphi(x) = x^2 - 1 + 3\ln x.\]
    1. Calculer \(\varphi(1)\) et la limite de \(\varphi\) en \(0\).
    2. Étudier les variations de \(\varphi\) sur \(]0~;~+ \infty[\). En déduire le signe de \(\varphi(x)\) selon les valeurs de \(x\).
    1. Calculer les limites de \(f\) aux bornes de son ensemble de définition.
    2. Montrer que sur \(]0~;~+ \infty[\) : \(f'(x) = \dfrac{\varphi(x)}{x^2}\). En déduire le tableau de variation de \(f\).
    3. Prouver que l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(]0~;~1]\). Déterminer à la calculatrice une valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^{-2}\) près. On admettra que l'équation \(f(x) = 0\) a également une unique solution \(\beta\) sur \([1~;~+ \infty[\) avec \(\beta \approx 3,61\) à \(10^{-2}\) près.
    4. Soit \(F\) la fonction définie sur \(]0~;~+ \infty[\) par : \[F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 2x - 2\ln x - \dfrac{3}{2}(\ln x)^2.\]Montrer que \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(]0~;~+ \infty[\).

 

Partie B : résolution du problème


Dans cette partie, les calculs seront effectués avec les valeurs approchées à \(10^{-2}\) près de \(\alpha\) et \(\beta\) de la partie .
Pour obtenir la forme de la goutte, on considère la courbe représentative \(C\) de la fonction \(f\) restreinte à l'intervalle \([\alpha~;~\beta]\) ainsi que son symétrique \(C'\) par rapport à l'axe des abscisses. Les deux courbes \(C\) et \(C'\) délimitent la face supérieure du palet. Pour des raisons esthétiques, le chocolatier aimerait que ses palets aient une épaisseur de \(0,5\) cm. Dans ces conditions, la contrainte de rentabilité serait-elle respectée ?

 

Correction de l'exercice 1 (5 points)


Commun à tous les candidats


La chocolaterie Delmas décide de commercialiser de nouvelles confiseries : des palets au chocolat en forme de goutte d'eau. Pour cela, elle doit fabriquer des moules sur mesure qui doivent répondre à la contrainte suivante : pour que cette gamme de bonbons soit rentable, la chocolaterie doit pouvoir en fabriquer au moins \(80\) avec \(1\) litre de pâte liquide au chocolat.

Partie A : modélisation par une fonction


Le demi contour de la face supérieure du palet sera modélisé par une portion de la courbe de la fonction \(f\) définie sur \(]0~;~+ \infty[\) par : \[f(x) = \dfrac{x^2 - 2x - 2 - 3\ln x}{x}.\]La représentation graphique de la fonction \(f\) est donnée ci-dessous.

Le repère est orthogonal d'unité \(2\) cm en abscisses et \(1\) cm en ordonnées.

  1. Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \(]0~;~+ \infty[\) par : \[\varphi(x) = x^2 - 1 + 3\ln x.\]
    1. Calculer \(\varphi(1)\) et la limite de \(\varphi\) en \(0\).
    2. \(\varphi(1)=1^2-1+3\ln(1)=0\)
      \(\lim\limits_{x \to 0^+}x^2-1=-1\) et \(\lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x)=-\infty\)
      Donc \(\lim\limits_{x \to 0^+}\varphi(x)=-\infty\)
      \(\quad\)
    3. Étudier les variations de \(\varphi\) sur \(]0~;~+ \infty[\). En déduire le signe de \(\varphi(x)\) selon les valeurs de \(x\).
    4. La fonction \(\varphi\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
      \(\varphi'(x)=2x+\dfrac{3}{x} >0\) sur \(]0;+\infty[\).
      La fonction \(\varphi\) est donc strictement croissante sur \(]0;+\infty[\).
      \(\quad\)
      Puisque \(\varphi(1)=0\) cela signifie donc que :
      – \(\varphi(x)<0\) sur l’intervalle \(]0;1[\)
      – \(\varphi(1)=0\)
      – \(\varphi(x)>0\) sur l’intervalle \(]1;+\infty[\)
      \(\quad\)
    1. Calculer les limites de \(f\) aux bornes de son ensemble de définition.
    2. \(f(x)=\dfrac{x^2-2x-2-3\ln(x)}{x}\)
      \(\lim\limits_{x \to 0^+}x^2-2x-2=-2\) et \(\lim\limits_{x \to 0^+} -3\ln(x)=+\infty\)
      Donc \(\lim\limits_{x \to 0^+} x^2-2x-2-3\ln(x)=+\infty\)
      \(\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty\)
      Par conséquent \(\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=+\infty\)
      \(\quad\)
      \(f(x)=x-2-\dfrac{2}{x}-3\dfrac{\ln(x)}{x}\)
      \(\lim\limits_{x \to +\infty}x-2=+\infty\), \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2}{x}=0\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0\)
      Donc \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty\)
      \(\quad\)
    3. Montrer que sur \(]0~;~+ \infty[\) : \(f'(x) = \dfrac{\varphi(x)}{x^2}\). En déduire le tableau de variation de \(f\).
    4. La fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle \(]0;+\infty[\) en tant que somme et quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas.
      \(\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\left(2x-2-\dfrac{3}{x}\right)x-\left(x^2-2x-2-3\ln(x)\right)}{x^2} \\
      &=\dfrac{2x^2-2x-3-x^2+2x+2+3\ln(x)}{x^2}\\
      &=\dfrac{x^2-1+3\ln(x)}{x^2}\\
      &=\dfrac{\varphi(x)}{x^2}
      \end{align*}\)
      \(\quad\)
      • Signe de la dérivée :
        tab signe
      • Tableau de variations :
        tabvar
    5. Prouver que l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(]0~;~1]\). Déterminer à la calculatrice une valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^{-2}\) près. On admettra que l'équation \(f(x) = 0\) a également une unique solution \(\beta\) sur \([1~;~+ \infty[\) avec \(\beta \approx 3,61\) à \(10^{-2}\) près.
    6. La fonction \(f\) est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle \(]0;1]\).
      \(\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=+\infty\) et \(f(1)=-3\)
      Donc \(0\in[-3;+\infty[\).
      D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation \(f(x)=0\) possède une unique solution \(\alpha\) sur l’intervalle \(]0;1]\).
      À l’aide de la calculatrice on trouve \(\alpha\approx 0,41\)
      \(\quad\)
    7. Soit \(F\) la fonction définie sur \(]0~;~+ \infty[\) par : \[F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 2x - 2\ln x - \dfrac{3}{2}(\ln x)^2.\]Montrer que \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(]0~;~+ \infty[\).
    8. \(F\) est dérivable sur l’intervalle \(]0;+\infty[\) en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
      \(\begin{align*} F'(x)&=\dfrac{1}{2}\times 2x-2-\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{2}\times 2\times \dfrac{1}{x}\times \ln(x) \\
      &=x-2-\dfrac{2}{x}-\dfrac{3\ln(x)}{x} \\
      &=\dfrac{x^2-2x-2-3\ln(x)}{x}\\
      &=f(x)
      \end{align*}\)
      La fonction \(F\) est donc une primitive de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0;1[\).
      \(\quad\)

 

Partie B : résolution du problème


Dans cette partie, les calculs seront effectués avec les valeurs approchées à \(10^{-2}\) près de \(\alpha\) et \(\beta\) de la partie .

Pour obtenir la forme de la goutte, on considère la courbe représentative \(C\) de la fonction \(f\) restreinte à l'intervalle \([\alpha~;~\beta]\) ainsi que son symétrique \(C'\) par rapport à l'axe des abscisses. Les deux courbes \(C\) et \(C'\) délimitent la face supérieure du palet. Pour des raisons esthétiques, le chocolatier aimerait que ses palets aient une épaisseur de \(0,5\) cm. Dans ces conditions, la contrainte de rentabilité serait-elle respectée ?

La fonction \(-f\) est positive sur l’intervalle \([\alpha;\beta]\).
Calculons l’aire \(I\) du domaine compris entre la courbe \(C’\), l’axe des abscisses et les droites d’équation \(x=\alpha\) et \(x=\beta\).
\(\begin{align*} I&=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} -f(x)\;dx \\
&=-\left(F(\beta)-F(\alpha)\right) \\
&\approx 5,598
\end{align*}\)

L’aire \(\mathscr{A}\) de la face supérieure est donc \(2I\approx 11,196\) u.a.
Or \(1\)u.a. = 2 cm\(^2\)
Donc \(\mathscr{A}\approx 22,392\) cm\(^2\).

Le volume du palet est \(V=\mathscr{A} \times 0,5\approx 11,196\) cm\(^2\).

Par conséquent \(80\) palets ont un volume de \(80V\approx 895,68\) cm\(^3\) (qui est bien inférieur à \(1\) litre \(=1~000\) cm\(^3\)) .

La contrainte de rentabilité est donc respectée.

\(\quad\)

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