Baccalauréat S Antilles-Guyane. 7 septembre 2017 Fonction ln

oui
non
S
Année 2017
Antilles Guyanne
Suites,Fonction ln,Calcul intégral

Exercice 3 5 points


Fonctions


Commun à tous les candidats

Partie A


Soit la fonction \(f\) définie et dérivable sur \([1~;~+ \infty[\) telle que, pour tout nombre réel \(x\) supérieur ou égal à 1, \[f(x) = \dfrac{1}{x} \ln (x).\]On note \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé.

  1. Démontrer que la courbe \(\mathcal{C}\) admet une asymptote horizontale.
  2. Déterminer la fonction dérivée \(f'\) de la fonction \(f\) sur \([1~;~+ \infty[\).
  3. Étudier les variations de la fonction \(f\) sur \([1~;~+ \infty[\).

 

Partie B


On considère la suite \(\left(u_n\right)\) définie par \[u_n = \displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln (x)\:\text{d}x\:\:\text{pour tout entier naturel} \:n.\]

  1. Démontrer que \(u_0 = \dfrac{1}{2} [\ln (2)]^2\). Interpréter graphiquement ce résultat.
  2. Prouver que, pour tout entier naturel \(n\) et pour tout nombre réel \(x\) de l'intervalle [1~;~2], on a \[0 \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (x) \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (2).\]
  3. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\geq 1\), on a \[0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac{\ln (2)}{n} \left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right).\]
  4. Déterminer la limite de la suite \(\left(u_n\right)\).
 

Correction de l'exercice 3 (5 points)


Commun à tous les candidats

Partie A


Soit la fonction \(f\) définie et dérivable sur \([1~;~+ \infty[\) telle que, pour tout nombre réel \(x\) supérieur ou égal à 1, \[f(x) = \dfrac{1}{x} \ln (x).\]On note \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé.

  1. Démontrer que la courbe \(\mathcal{C}\) admet une asymptote horizontale.
  2. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0\). Par conséquent la courbe \(\mathscr{C}\) possède une asymptote horizontale d’équation \(y=0\).
    \(\quad\)
  3. Déterminer la fonction dérivée \(f'\) de la fonction \(f\) sur \([1~;~+ \infty[\).
  4. D’après l’énoncé la fonction \(f\) est dérivable sur \([1;+\infty[\).
    \(\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{1}{x^2}\ln(x)+\dfrac{1}{x}\times \dfrac{1}{x^2} \\
    &=\dfrac{-\ln(x)+1}{x^2}
    \end{align*}\)
    \(\quad\)
  5. Étudier les variations de la fonction \(f\) sur \([1~;~+ \infty[\).
  6. Le signe de \(f'(x)\) ne dépend donc que de celui de \(-\ln(x)+1\).
    \(-\ln(x)+1=0 \iff \ln(x)=1 \iff x=\text{e}\)
    \(-\ln(x)+1>0 \iff \ln(x)<1 \iff x<\text{e}\)
    Par conséquent la fonction \(f\) est strictement croissante sur l’intervalle \([1;\text{e}]\) et strictement décroissante sur l’intervalle \([\text{e};+\infty[\).
    \(\quad\)

 

Partie B


On considère la suite \(\left(u_n\right)\) définie par \[u_n = \displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln (x)\:\text{d}x\:\:\text{pour tout entier naturel} \:n.\]

  1. Démontrer que \(u_0 = \dfrac{1}{2} [\ln (2)]^2\). Interpréter graphiquement ce résultat.
  2. \(\begin{align*} u_0&=\int_1^2 \dfrac{1}{x}\ln(x) \text{d} x \\
    &=\left[\dfrac{1}{2}\left(\ln(x)\right)^2\right]_1^2 \\
    &=\dfrac{1}{2}\left[\ln(2)\right]^2
    \end{align*}\)
    Cela signifie donc que l’aire du domaine compris entre la courbe \(\mathscr{C}\), l’axe des abscisses et les droites d’équation \(x=1\) et \(x=2\) a une aire de \(\dfrac{1}{2}\left[\ln(2)\right]^2\) u.a.
    \(\quad\)
  3. Prouver que, pour tout entier naturel \(n\) et pour tout nombre réel \(x\) de l'intervalle [1~;~2], on a \[0 \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (x) \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (2).\]
  4. La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur l’intervalle \([1;2]\).
    Par conséquent :
    \(0 \leq \ln(x) \leq \ln(2) \iff 0 \leq \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(x) \leq \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(2)\).
    \(\quad\)
  5. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\geq 1\), on a \[0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac{\ln (2)}{n} \left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right).\]
  6. Pour tout entier naturel \(n\), la fonction \(x\mapsto \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(x)\) est continue et positive sur l’intervalle \([1;2]\).
    Donc, d’après la question précédente, pour tout entier naturel \(n\) non nul :
    \(\begin{align*} 0 \leq \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(x) \leq \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(2)& \iff 0 \leq u_n \leq \int_0^n \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(2) \text{d} x \\
    &\iff 0 \leq u_n \leq \left[-\dfrac{\ln(2)}{n}\times \dfrac{1}{x^n}\right]_1^2 \\
    &\iff 0 \leq u_n \leq -\dfrac{\ln(2)}{n}\left(\dfrac{1}{2^n}-1\right)\\
    &\iff 0 \leq u_n \leq \dfrac{\ln(2)}{n}\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)
    \end{align*}\)
    \(\quad\)
  7. Déterminer la limite de la suite \(\left(u_n\right)\).
  8. \(-1<\dfrac{1}{2} <1\) donc \(\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2^n}=0\) et \(\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{\ln(2)}{n}\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right) = 0\).
    D’après le théorème des gendarmes \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n =0\).
    \(\quad\)
 

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