Baccalauréat S Pondichéry 26 Avril 2017 : Fonction ln

Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Une entreprise spécialisée dans les travaux de construction a été mandatée pour percer un tunnel à flanc de montagne. Après étude géologique, l'entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante : dans un repère orthonormal, d'unité 2 m, la zone de creusement est la surface délimitée par l'axe des abscisses et la courbe \(\mathcal{C}\).
 
On admet que \(\mathcal{C}\) est la courbe représentative de la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([- 2,5~;~2,5]\) par: \[f(x) = \ln \left(- 2x^2 + 13,5\right).\]L'objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement.

Partie A : Étude de la fonction \(f\)

1. Calculer \(f ‘(x)\) pour \(x \in [- 2,5~;~2,5]\).
On appelle \(u\) la fonction définie sur \([-2,5;2,5]\) par \(u(x)=-2x^2+13,5\).
La fonction \(u\) est dérivable sur cet intervalle en tant que polynôme et, de par la définition de la fonction \(f\), est également strictement positive sur cet intervalle.
Par composition des fonctions, la fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle \([-2,5;2,5]\)
\(f(x)=\ln\left(u(x)\right)\) donc \(f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}\).
\(f'(x)=\dfrac{-4x}{-2x^2+13,5}\)
\(\quad\)
2. Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction \(f\) sur \([- 2,5~;~2,5]\). En déduire le signe de \(f\) sur \([- 2,5~;~2,5]\).
Puisque \(-2x^2+13,5>0\) sur l’intervalle \([2,5;2,5]\) le signe de \(f'(x)\) ne dépend que de celui de \(-4x\).
Ainsi \(f'(x)>0\) sur l’intervalle \([-2,5;0]\) et \(f'(x)>0\) sur l’intervalle \([0;2,5]\).
On obtient alors le tableau de variation suivant :

Partie B : Aire de la zone de creusement

On admet que la courbe \(\mathcal{C}\) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère.

1. La courbe \(\mathcal{C}\) est-elle un arc de cercle de centre 0 ? Justifier la réponse.
La hauteur du tunnel est \(h=\ln(13,5)\approx 2,6\).
La largeur du tunnel est \(\ell = 2,5\times 2=5 \neq 2h\).
La courbe \(\mathscr{C}\) n’est donc pas un arc de cercle de centre \(O\).
\(\quad\)
2. Justifier que l'aire, en mètre carré, de la zone de creusement est \(\mathcal{A} = 8\displaystyle\int_0^{2,5} f(x)\:\text{d}x\).
Par symétrie \(\mathscr{A}\) est le double de l’aire comprise entre la courbe \(\mathscr{C}\), l’axe des abscisses, la droite d’équation \(x=0\) et celle d’équation \(x=2,5\).
Donc :
\(\begin{align*} \mathscr{A}&=\displaystyle 2\int_0^{2,5}f(x)\text{d}x~~ \text{u.a.} \\
&=2\int_0^{2,5}f(x)\text{d}x\times 2^2 \text{ m}^2 \\
&=8\int_0^{2,5}f(x)\text{d}x\text{ m}^2
\end{align*}\)
\(\quad\)
3. L'algorithme, donné en annexe, permet de calculer une valeur approchée par défaut de \(I = \displaystyle\int_0^{2,5} f(x)\:\text{d}x\), notée \(a\). On admet que : \(a \leqslant I \leqslant a + \dfrac{f(0) - f(2,5)}{n}\times 2,5\).
   1. Le tableau fourni en annexe, donne différentes valeurs obtenues pour R et S lors de l'exécution de l'algorithme pour \(n = 50\). Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes.
   A l’étape \(1\) on a \(R=0,130~116\) et \(S=0,130~116\)
   A l’étape \(4\) on a \(S=0,519~981\)
   A l’étape \(50\) on a \(R=0\) et \(S=5,197~538\)
   A l’affichage \(S=5,197~538\)
   \(\quad\)
   
   2. En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement.
   Une valeur approchée de \(\displaystyle \int_0^{2,5} f(x)\text{d}x\) est \(5,197~538\).
   Par conséquent une valeur approchée de la zone de creusement est :
   \(\mathscr{A}\approx 8\times 5,197~538\)
   Soit \(\mathscr{A} \approx 41,580~304 \approx 42\) m\(^2\).
   \(\quad\)

\[\begin{array}{|l|}\hline \text{Variables}\\ \hspace{1cm}\begin{array}{|l} R \text{ et } S \text{ sont des réels}\\ n \text{ et }k \text{ sont des entiers}\\ \end{array}\\ \text{Traitement} \\ \hspace{1cm}\begin{array}{|l} S \text{ prend la valeur } 0\\ \text{ Demander la valeur de } n\\ \text{Pour } k \text{ variant de } 1 \text{ à } n \text{ faire }\\ \hspace{1cm}\begin{array}{|l} R \text{ prend la valeur } \dfrac{2,5}{n} \times f\left(\dfrac{2,5}{n}\times k \right)\\ S \text{ prend la valeur } S + R\\ \end{array}\\ \text{ Fin Pour}\\ \text{ Afficher } S\\ \end{array}\\ \hline \end{array}\]Le tableau ci-dessous donne les valeurs de \(R\) et de \(S\), arrondies à \(10^{-6}\), obtenues lors de l'exécution de l'algorithme pour \(n = 50\).