Baccalauréat Polynésie 11 septembre 2014 STI2D : Fonction exp et équations différentielles

oui
non
STI2D
Année 2013
Polynésie
Fonction exp,Equations différentielles

Exercice 3 6 points


Fonction exponentielle et équation différentielle


Lorsque l'on consomme de l'alcool, le taux d'alcool dans le sang varie en fonction du temps écoulé depuis l'absorption. Ce taux est appelé « alcoolémie » et est mesuré en grammes par litre (g/L). Après l'absorption de trois verres d'alcool, l'alcoolémie d'une personne donnée, en fonction du temps (exprimé en heures), est modélisée par la fonction définie sur \(\mathbb R_{+}\) par : \[ f(t) = 2,5t\text{e}^{- t}.\]

Partie A

  1. Donner la valeur de l'alcoolémie de la personne considérée au bout de 2 heures.
  2. Montrer que pour tout réel \(t\) de l'intervalle \([0~;~+ \infty[\),  \(f'(t) = 2,5(1 - t)\text{e}^{- t}\).
  3. Vérifier que la fonction \(f\) est solution de l'équation différentielle : \[(E) :\qquad y' + y = 2,5\text{e}^{- t}.\]
  4. En remarquant que pour tout réel \(t\) de l'intervalle \([0~;~+ \infty[\) on a \(f(t) = \dfrac{2,5t}{\text{e}^{t}}\), déterminer \(\displaystyle\lim_{t \to + \infty}f(t)\) et donner une interprétation géométrique de cette limite.
  5. Déterminer les variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0~;~+ \infty[\).
  6. Quelle est l'alcoolémie la plus élevée pour la personne considérée ?

Partie B

  1. Sur une feuille de papier millimétré, tracer la courbe représentative de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0~;~+ \infty[\). On prendra 2 cm pour unité sur l'axe des abscisses et 10 cm pour unité sur l'axe des ordonnées.
  2. En France, la législation autorise pour un conducteur une alcoolémie maximale de 0,5 g/L. Sachant que la personne a absorbé trois verres d'alcool à 12 h, à partir de quelle heure pourra-t-elle reprendre la route pour effectuer sans s'arrêter un trajet d'une durée d'une heure ? On utilisera la représentation graphique de la fonction \(f\).
 

Correction de l'exercice 3 (6 points)


Fonction exponentielle et équation différentielle


Lorsque l'on consomme de l'alcool, le taux d'alcool dans le sang varie en fonction du temps écoulé depuis l'absorption. Ce taux est appelé « alcoolémie » et est mesuré en grammes par litre (g/L). Après l'absorption de trois verres d'alcool, l'alcoolémie d'une personne donnée, en fonction du temps (exprimé en heures), est modélisée par la fonction définie sur \(\mathbb R_{+}\) par : \[ f(t) = 2,5t\text{e}^{- t}.\]

Partie A

  1. Donner la valeur de l'alcoolémie de la personne considérée au bout de 2 heures.
  2. \(f(2)=2,5\times 2\times e{-2}\approx 0,68\)
    Au bout de 2 heures, l'alcoolémie de la personne considérée est d'environ 0,68 g/L.
  3. Montrer que pour tout réel \(t\) de l'intervalle \([0~;~+ \infty[\),  \(f'(t) = 2,5(1 - t)\text{e}^{- t}\).
  4. \(f \) est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : 

    \(f=uv\) d'où \(f'=u' v+uv' \) avec pour tout réel \(x\) :
    \[\left\{ \begin{array}{l} u(t)~ =2,5t \\ v(t)~ =\text{e}^{- t} \end{array}\right.\]d'où : \[\left\{ \begin{array}{l} u’(t)~ =2,5 \\ v'(t)~ =-\text{e}^{- t} \end{array}\right.\]

    Ainsi :
     \[f’(t)=2,5 \times \text{e}^{- t} +2,5t \times \left( -\text{e}^{- t}\right)\]

    \[f’(t)=2,5(1-t)\text{e}^{-t}\]
    La dérivée de la fonction \(f\) est la fonction \(f’\) définie pour tout réel \(t\) de l'intervalle \([0;+\infty[\) par \(f’(t)=2,5(1−t)\text{e}^{-t}\).
  5. Vérifier que la fonction \(f\) est solution de l'équation différentielle : \[(E) :\qquad y' + y = 2,5\text{e}^{- t}.\]
  6. \[\begin{array}{ll} f’(t)+f(t)&=2,5(1−t)\text{e}^{-t}+2,5t\text{e}^{-t}\\ &= 2,5 \text{e}^{- t} \end{array}\]
    La fonction f est une solution de l'équation différentielle (E).
  7. En remarquant que pour tout réel \(t\) de l'intervalle \([0~;~+ \infty[\) on a \(f(t) = \dfrac{2,5t}{\text{e}^{t}}\), déterminer \(\displaystyle\lim_{t \to + \infty}f(t)\) et donner une interprétation géométrique de cette limite.
  8. \(\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\dfrac{\text{e}^{t}}{t}=+\infty\), donc par inverse : \(\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\dfrac{t}{\text{e}^{t}}=0\), puis \(\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\dfrac{2,5t}{\text{e}^{t}}=0\)
    \(\displaystyle\lim_{t \to + \infty}f(t)=0\) par conséquent, la courbe représentative de la fonction \(f\) admet pour asymptote l'axe des abscisses au voisinage de \(+ \infty\).
  9. Déterminer les variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0~;~+ \infty[\).
  10. Le sens de variation de \(f\) est donné par le signe de la dérivée \(f’\); or \(f’(t)=2,5(1-t)\text{e}^{-t}\)
    Comme la fonction exponentielle est strictement positive sur \(\mathbb{R}\) ; le signe de \(f′(t)\) ne dépend que de celui de \(1-t\). On obtient donc le tableau de variations suivant :
  11. Quelle est l'alcoolémie la plus élevée pour la personne considérée ?
  12. Le maximum de la fonction \(f\) est atteint pour \(t=1\) et, \[f(1)=2,5\times \text{e}^{-1}\approx 0,92\]
    L'alcoolémie la plus élevée pour la personne considérée est d'environ 0,92 g/L.

Partie B

  1. Sur une feuille de papier millimétré, tracer la courbe représentative de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0~;~+ \infty[\). On prendra 2 cm pour unité sur l'axe des abscisses et 10 cm pour unité sur l'axe des ordonnées.
  2. En France, la législation autorise pour un conducteur une alcoolémie maximale de 0,5 g/L. Sachant que la personne a absorbé trois verres d'alcool à 12 h, à partir de quelle heure pourra-t-elle reprendre la route pour effectuer sans s'arrêter un trajet d'une durée d'une heure ? On utilisera la représentation graphique de la fonction \(f\).
  3. Avec la précision permise par un graphique tracé à main levée, on constate que la courbe représentative de la fonction \(f\) est en dessous de la droite d'équation \(y=0,5\) sur un intervalle d'amplitude 1 pour \(t>2,5\). Or \(f(2,5)\approx 0,513\) et \(f(2,55)\approx 0,498\)
    Cette personne pourra reprendre la route pour effectuer sans s'arrêter un trajet d'une durée d'une heure à partir de 14 heures trente-cinq minutes.
 

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