BAC STI2D Polynésie juin 2014 Nombres complexes

oui
non
STI2D
Année 2014
Polynésie
QCM,Nombres complexes,Equations différentielles

Exercice 1 4 points


QCM nombres complexes et équations différentielles

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.
 
Indiquer sur la copie la réponse choisie Dans les questions 1. et 2., on considère le complexe \(z = - 2\text{e}^{-2\text{i}\frac{\pi}{3}}\).

  1. Le complexe \(z^3\) est égal à :
    1. 8
    2. \(-8\)
    3. \(8\text{i}\)
    4. \(- 8\text{i}\)
  2. Un argument de \(z\) est
    1. \(- \dfrac{2\pi}{3}\)
    2. \(\dfrac{2\pi}{3}\)
    3. \(- \dfrac{\pi}{3}\)
    4. \(\dfrac{\pi}{3}\)
  3. On considère l'équation différentielle \(y' - 3y = 2\), où \(y\) désigne une fonction dérivable sur l'ensemble des réels. Une solution \(f\) de cette équation est la fonction de la variable \(x\) vérifiant pour tout réel \(x\) :
    1. \(f(x) = 2\text{e}^{-3x}\)
    2. \(f(x) = \text{e}^{3x} + \dfrac{2}{3}\)
    3. \(f(x) = \text{e}^{\frac{2}{3}x}\)
    4. \(f(x) = \text{e}^{3x} - \dfrac{2}{3}\)
  4. La solution \(f\) de l'équation différentielle \(y'' + 4\pi^2 y = 0\) qui vérifie \(f(0) = - 1\) et \(f'(0) = 0\) admet comme représentation graphique :
    Polynesie STI2D 2014-QCM-ex1

 

 

 

Correction de l'Exercice 1 4 points


QCM nombres complexes et équations différentielles

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.
 
Indiquer sur la copie la réponse choisie Dans les questions 1. et 2., on considère le complexe \(z = - 2\text{e}^{-2\text{i}\frac{\pi}{3}}\).

  1. Le complexe \(z^3\) est égal à : \[\begin{array}{ll } \\ z^3 & =\left (- 2\text{e}^{ \text{i}\frac{\pi}{3}}\right )^3 \\ &=(-2)^3 \times \left (- 2\text{e}^{-2\text{i}\frac{\pi}{3}}\right )^3 \\& =-8 \times \text{e}^{-6\text{i}\frac{\pi}{3}} \\ & =-8 \times \text{e}^{ \text{i}2 \pi}\\ & =-8 \times \text{e}^{ \text{i}\times 0}\\ & =-8 \\ \end{array}\]
    1. FAUX
    2. VRAI :\(-8\)
    3. FAUX
    4. FAUX
  2. Comme \(\text{e}^{ \text{i} \pi}=-1\) alors la forme exponentielle de \(z\) est : \(z=- 2\text{e}^{-2\text{i}\frac{\pi}{3}}=2\text{e}^{-2\text{i}\frac{\pi}{3}}\times (-1) =2\text{e}^{-2\text{i}\frac{\pi}{3}}\times \text{e}^{ \text{i} \pi}=2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} \)
    Un argument de \(z\) est \(\dfrac{\pi}{3}\)
    1. FAUX
    2. FAUX
    3. FAUX
    4. VRAI :\(\dfrac{\pi}{3}\)
  3. On considère l'équation différentielle \(y' - 3y = 2\), où \(y\) désigne une fonction dérivable sur l'ensemble des réels.
    L'équation différentielle \(y'-3y=2\) se met sous la forme \(y'=3y+2\). Elle est de la forme \(y'=ay+b\) avec \(a=3\) et \(b=2\). Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme \(x \mapsto k \text{e}^{3x} - \dfrac{2}{3} \), où k est une constante réelle. Donc en choisissant \(k=1\), la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par \(f(x) = \text{e}^{3x} - \dfrac{2}{3}\) est une solution de cette équation. Une solution \(f\) de cette équation est la fonction de la variable \(x\) vérifiant pour tout réel \(x\) :
    1. FAUX
    2. FAUX
    3. FAUX
    4. VRAI :\(f(x) = \text{e}^{3x} - \dfrac{2}{3}\)
  4. La solution \(f\) de l'équation différentielle \(y'' + 4\pi^2 y = 0\) qui vérifie \(f(0) = - 1\) et \(f'(0) = 0\) admet comme représentation graphique :
    • Les conditions initiales \(f(0)=-1\) et \(f'(0)=0\) permettent d'éliminer les courbes proposées en a. et d.
    • L'équation différentielle \(y'' + 4\pi^2 y = 0\) est de la forme \(y'' + \omega ^2 y = 0\) avec \(\omega ^2= 4\pi^2\).
      En prenant \(\omega =2\pi\), les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme \(x \mapsto A \cos\left (2\pi x\right )+ B\sin\left (2\pi x\right )\), où \(A\) et \(B\) sont deux une constantes réelles.
    • \(f(0)=-1\) d'où \(A \cos\left (0\right )+ B\sin\left (0\right )=-1\) donc \(A=-1\).
      Soit \(f: x \mapsto \cos\left (2\pi x\right )+ B\sin\left (2\pi x\right )\). Par conséquent, \(f(1)= -\cos\left (2\pi \right )+ B\sin\left (2\pi \right )=-1+ B \times 0=-1\).
    • La courbe c. est la seule qui puisse convenir.

    Polynesie STI2D 2014-QCM-ex1

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