SUJET ORAL TSTI2D 20

oui
oui
STI2D
Année 2014
Calcul intégral,Equations différentielles

Oral 20 STI2D

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!

Exercice
Calcul d'une primitive
On note \(g\) la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 2] par \[g(x) = \dfrac{x}{x + 1}\]
  1. Déterminer deux réels \(a\) et \(b\) tels que, pour tout \(x\) appartenant à l'intervalle [0 ; 2],~ \( g(x) = a + \dfrac{b}{x + 1}\).
  2. En déduire une primitive de \(g\) sur l'intervalle [0 ; 2].

Exercice
Équation différentielle
  1. Résoudre l'équation différentielle (E) : \(y'' +\dfrac{1}{4}y = 0,~y\) désignant une fonction numérique définie sur l'ensemble \(\mathbb{R}\) des nombres réels.
  2. Déterminer la fonction \(f\), solution de l'équation précédente, qui vérifie :
    \(f(0) = 2\) et \(f'(0) = \sqrt{3}\).
  3. Vérifier, que pour tout nombre réel \(x,~f(x) = 4 \sin\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{6}\right)\).
    1. En utilisant l'équation différentielle (E), expliquer comment on peut obtenir la représentation graphique de \(f''\), dérivée seconde de \(f\), à partir de celle de \(f\).
    2. Ci-dessous est tracée la représentation graphique de \(f\) sur l'intervalle \([0~;~4\pi]\). Tracer la représentation de \(f''\) sur ce même graphique et sur ce même intervalle.
 

Correction Oral 20 STI2D


Exercice
Calcul d'une primitive On note \(g\) la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 2] par \[g(x) = \dfrac{x}{x + 1}\]

  1. Déterminer deux réels \(a\) et \(b\) tels que, pour tout \(x\) appartenant à l'intervalle [0 ; 2],~ \( g(x) = a + \dfrac{b}{x + 1}\).

  2. On réduit au même dénominateur :
    \(a + \dfrac{b}{x + 1}=\dfrac{a(x+1)}{x+1}+ \dfrac{b}{x + 1}=\dfrac{a(x+1)+b}{x+1}=\dfrac{ax+(a+b)}{x+1}\)
    Or \[g(x)=\dfrac{x}{x + 1}\]ainsi \[\dfrac{ax+(a+b)}{x+1}=\dfrac{x}{x + 1}\]On identifie les numérateurs : \[ax+(a+b)=1\times x+0\]\[\left \{\begin{array}{rcl} a& = & 1 \\ a+b & = &0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} a& = & 1 \\ b& = &-1 \end{array} \right.\]

    \(g(x)=1-\dfrac{1}{x + 1}\)

  3. En déduire une primitive de \(g\) sur l'intervalle [0 ; 2].

  4. \(g(x)=1-\dfrac{1}{x + 1}\),ainsi une primitive\(G\) de \(g\) est définie par \(G(x)=x-\ln|x+1|\)

    \(\dfrac{1}{x+1}\) est de la forme \(\dfrac{u'}{u}\) qui a pour primitive \(\ln |u|\).

    Comme ici \(x\geq 0\); on a \(x+1\geq 1\) soit \(x+1>0\); ainsi \( |x+1|=x+1\).

    Une primitive de \(g\) sur l'intervalle [0 ; 2] est la fonction \(G\) définie par \(G(x)=x-\ln(x+1)\).


Exercice
Équation différentielle

  1. Résoudre l'équation différentielle (E) : \(y'' + \dfrac{1}{4}y = 0,~y\) désignant une fonction numérique définie sur l'ensemble \(\mathbb{R}\) des nombres réels.

  2. L'équation différentielle \(y''+\dfrac{1}{4}y=0\) est du type \(y''+\omega ^2y=0\); où \(\omega =\dfrac{1}{2}\)
    Les solutions de \((E)\) sont les fonctions \(f\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=A\cos \left (\dfrac{1}{2}x\right )+B \sin \left (\dfrac{1}{2}x\right )\) où \(A\) et \(B\) désignent deux constantes réelles quelconques.
  3. Déterminer la fonction \(f\), solution de l'équation précédente, qui vérifie :
    \(f(0) = 2\) et \(f'(0) = \sqrt{3}\).

  4. \(f\) est une solution de \(E\) donc :
    \(f(x)=A\cos \left (\dfrac{1}{2}x\right )+B \sin \left (\dfrac{1}{2}x\right )\)
    On déduit \(f'(x)=-\dfrac{1}{2}A\sin \left (\dfrac{1}{2}x\right )+\dfrac{1}{2}B \cos \left (\dfrac{1}{2}x\right )\) .
    On utilise les deux formules de dérivations \((\cos u)'=-u'\sin u\) et \((\sin u)'=u'\cos u\)

    \(f(0)=2 \Leftrightarrow A\cos 0+B\sin 0= 2\), or \(\cos 0=1\) et \(\sin 0=0\), donc
    \(f(0)=2 \Leftrightarrow A= 2\) \(f'(0)=\sqrt 3 \Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}A\sin \left (0\right )+\dfrac{1}{2}B \cos \left (0\right )=\sqrt 3 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}B =\sqrt 3 \Leftrightarrow B=2\sqrt 3 \)

    On déduit donc \(f(x)=2\cos \left (\dfrac{1}{2}x\right )+2\sqrt 3 \sin \left (\dfrac{1}{2}x\right )\)

  5. Vérifier, que pour tout nombre réel \(x,~f(x) = 4 \sin \left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{6}\right)\).

  6. On utilise la formule de trigonométrie :\(\sin(a+b)=\sin a \cos b+\sin b\cos a\).

    \[ 4 \sin \left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{6}\right)=4\left (\sin\left (\dfrac{1}{2}x\right )\times \cos(\dfrac{\pi}{6}\right )+\sin\left (\dfrac{\pi}{6})\times\cos\left (\dfrac{1}{2}x\right )\right )\]\[ 4 \sin \left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{6}\right)=4\left (\sin\left (\dfrac{1}{2}x\right )\times \dfrac{\sqrt 3}{2}+\dfrac{1}{2}\times\cos\left (\dfrac{1}{2}x\right )\right )\]\[ 4 \sin \left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{6}\right)=2\cos \left (\dfrac{1}{2}x\right )+2\sqrt 3 \sin \left (\dfrac{1}{2}x\right )=f(x)\]

    pour tout nombre réel \(x,~f(x) = 4 \sin \left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{6}\right)\).

    1. En utilisant l'équation différentielle (E), expliquer comment on peut obtenir la représentation graphique de \(f''\), dérivée seconde de \(f\), à partir de celle de \(f\).

    2. \(f\) est une solution de \((E)\), donc \(f'' +\dfrac{1}{4}f = 0 \) ou encore \(f'' =-\dfrac{1}{4}f \)
      Donc si \(M(x,y) \in C_f\) alors \(y=f(x) \Leftrightarrow -\dfrac{1}{4}y=-\dfrac{1}{4} f(x) \Leftrightarrow -\dfrac{1}{4}y=f''(x)\)
      Ce qui signifie que le point \(M_1(x;-\frac{y}{4})\) est sur la représentation graphique de la fonction \(f''\).

      Pour tout \(M(x,y) \) de \( C_f\), on construit le point \(M_1(x;-\frac{y}{4})\) sur la représentation graphique de la fonction \(f''\).

    3. Ci-dessous est tracée la représentation graphique de \(f\) sur l'intervalle \([0~;~4\pi]\). Tracer la représentation de \(f''\) sur ce même graphique et sur ce même intervalle.

 

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