SUJET ORAL TSTI2D 19

oui
oui
STI2D
Année 2014
Probabilités,Equations différentielles
Loi binomiale,Loi normale
 

Oral 19 STI2D

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!

 



Exercice
Équation différentielle

  1. Résoudre l'équation différentielle :\[y'+2y=0\]où \(y\) est une fonction de la variable \(x\) définie sur \(\mathbb{R}\).
  2. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction \(f\) définie par \, \(f(x)=e^{-2x}\)
    Déterminer graphiquement et algébriquement les solutions de l'inéquation \(f(x)>2\)



Exercice
Probabilités Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires en argent. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le diamètre et l'épaisseur (exprimés en millimètres) sont conformes afin de les ranger dans un étui spécifique. Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à \(10^{-3}\) près. Partie A :
On suppose dans cette partie que la probabilité pour qu'une pièce prélevée au hasard soit conforme est égale à 0,9. Soit \(X\) la variable aléatoire, qui à tout échantillon de 10 pièces associe le nombre de pièces conformes.

  1. Justifier que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
  2. Calculer l'espérance mathématique \(E(X)\) et l'écart type \(\sigma(X)\) de la variable aléatoire \(X\).
  3. Calculer la probabilité que dans un échantillon de 10 pièces, au moins 8 pièces soient conformes.


Partie B :
Les pièces sont fabriquées par une machine automatique. Soit \(M\) la variable aléatoire qui à chaque pièce prélevée au hasard associe son diamètre. On suppose que \(M\) suit la loi normale d'espérance 80 et d'écart type 0,6.

  1. Déterminer la probabilité \(P\left(79 \leqslant M \leqslant 81\right)\).
  2. Quelle est la probabilité que le diamètre d'une pièce prélevée au hasard soit supérieur à 80 ?
 

Correction Oral 19 STI2D


Exercice
Équation différentielle

  1. Résoudre l'équation différentielle :\[y'+2y=0\]où \(y\) est une fonction de la variable \(x\) définie sur \(\mathbb{R}\).
  2. Cette quation différentielle s'écrit \(y'=-2y\).
    Elle est du type \(y'=ay\) où \(a=-2\).
    Les solutions sont les fonctions \(f\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=Ce^{-2x}\) où \(C\) désigne une constante réelle quelconque.
  3. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction \(f\) définie par \, \(f(x)=e^{-2x}\)
    Déterminer graphiquement et algébriquement les solutions de l'inéquation \(f(x)>2\)
    • grapiquement: on trace la droite d'équation \(y=2\) et on lit les abscisses des points de \(C_f\) situés en dessous de cette droite.

      On obtient \(\mathcal{S}=\left ]-\infty;\alpha\right [\) où \(\alpha \approx -0.3\)

    • algébriquement :\(f(x)>2 \Leftrightarrow e^{-2x}>2 \Leftrightarrow \ln\left (e^{-2x}\right )>\ln 2 \Leftrightarrow -2x >\ln 2 \Leftrightarrow x<-\dfrac{\ln 2}{2}\)

      \(\mathcal{S}=\left ]-\infty;-\dfrac{\ln 2}{2}\right [\)



Exercice
Probabilités Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires en argent. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le diamètre et l'épaisseur (exprimés en millimètres) sont conformes afin de les ranger dans un étui spécifique. Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à \(10^{-3}\) près. Partie A :
On suppose dans cette partie que la probabilité pour qu'une pièce prélevée au hasard soit conforme est égale à 0,9. Soit \(X\) la variable aléatoire, qui à tout échantillon de 10 pièces associe le nombre de pièces conformes.

  1. Justifier que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
  2. La variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale de paramètres 10 et 0,9.
  3. Calculer l'espérance mathématique \(E(X)\) et l'écart type \(\sigma(X)\) de la variable aléatoire \(X\).
  4. L'espérance mathématique de la variable aléatoire \( X\) qui suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(100,9)\) est \(E(X)=np=10\times 0,9=9\).
    L'écart type de la variable aléatoire \(X\) qui suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(100,9)\) est \(\sigma(X)=\sqrt{npq} =\sqrt{10\times 0,9\times (1-0,9)}=\sqrt{0,9}\approx 0,95\)
  5. Calculer la probabilité que dans un échantillon de 10 pièces, au moins 8 pièces soient conformes.
  6. \(P(X\geq 8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) =\binom{10}{8}\times 0,9 ^ 8 \times 0,1 ^ 2+\binom{10}{9}\times 0,9 ^ 9 \times 0,1 ^ 1+0,9^{10} \approx 0,9298\)
    remarque : Selon le modèle de calculatrice utilisée, on peut obtenir ce résultat avec \(P(X\geq 8)=1-P(X\leq 7) \approx 0,9298\) ou \(PX\geq 8=P(8\leq X \leq 10) \approx 0,9298\)
    Par exemple sous TI \(P(X=8)=binomFdP(10,0.9,8)\approx 0,1937\)
    \(P(X\leq 7 )=binomFdP(10,0.9,87)\approx 0,0701\)

    Arrondie à \(10^{-3}\) près, la probabilité que dans un échantillon de 10 pièces, au moins 8 pièces soient conformes est 0,93.


Partie B :
Les pièces sont fabriquées par une machine automatique. Soit \(M\) la variable aléatoire qui à chaque pièce prélevée au hasard associe son diamètre. On suppose que \(M\) suit la loi normale d'espérance 80 et d'écart type 0,6.

  1. Déterminer la probabilité \(P\left(79 \leqslant M \leqslant 81\right)\).
  2. \(P\left(79 \leqslant M \leqslant 81\right)\approx 0,904\)
    \(NormalFRep(79,81,80,0.6)\)

    La probabilité que le diamètre d'une pièce prélevée au hasard soit compris entre 79 et 81 est environ 0,904.

  3. Quelle est la probabilité que le diamètre d'une pièce prélevée au hasard soit supérieur à 80 ?
  4. M suit la loi normale d'espérance 80 donc :

    la probabilité que le diamètre d'une pièce prélevée au hasard soit supérieur à 80 est égale 0,5.

ImprimerE-mail

Statistiques

Visiteurs
167
Articles
1392
Compteur d'affichages des articles
7392877