Sujet Oral TSTI2D 11

oui
oui
STI2D
Année 2014
Fonction exp,Equations différentielles

Oral 11 STI2D

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  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
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Exercice On définit la fonction \(f\) sur l'ensemble des nombres réels par :\(f(x)=2e^{-\frac{1}{2}x}\) . Le plan est rapporté au repère orthonormal \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\) d'unité graphique 2 cm. On a tracé, ci-dessous, la courbe représentative \(C\) de la fonction \(f\) dans le repère \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\) . On note \(A\) et \(B\) les points de coordonnées respectives (-3 ; 0 ) et ( 0 ; 2). On note \(D\) le domaine (hachuré ci-dessous) délimité par :

  • la courbe \(C\) ,
  • l'axe des abscisses,
  • l'axe des ordonnées,
  • la droite d'équation : \(x = 2\).

  1. La fonction \(f\) est une solution de l'équation différentielle (E) :
    ( \(y\) désigne une fonction inconnue définie sur l' ensemble \(\mathbb{R}\) des nombres réels de variable \(x\) ; \(y'\) désigne la fonction dérivée de la fonction \(y\).)
    1. \((E):y'-2y=0\) ,
    2. \((E):2y'-y=0\),
    3. \((E):y'-y=0\) ,
    4. \((E):2y'+y=0\)
  2. La courbe \(C\) a pour asymptote la droite d'équation :
    1. \(y=-2x\) ,
    2. \(x=0\) ,
    3. \(y=0\)
  3. On note \(S\) le solide de révolution engendré par la rotation du domaine \(D\) autour de l'axe des abscisses. La valeur \(V\) du volume du solide \(S\) est donnée par :\(V=\pi\displaystyle\int_0^2\left [f(x)\right ]^2\;dx\) (en unités de volume).
    La valeur \(V\) du volume du solide \(S\), en \(cm^3\) est égale à :
    1. \(4\pi\left (1-e^{-2}\right )\) ,
    2. \(16\pi\left (1-e^{-2}\right )\) ,
  4. \(32\pi\left (1-e^{-2}\right )\)
 
 

Correction Oral 11 STI2D

Exercice

On définit la fonction \(f\) sur l'ensemble des nombres réels par :\(f(x)=2e^{-\frac{1}{2}x}\) . Le plan est rapporté au repère orthonormal \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\) d'unité graphique 2 cm. On a tracé, ci-dessous, la courbe représentative \(C\) de la fonction \(f\) dans le repère \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\) . On note \(A\) et \(B\) les points de coordonnées respectives (-3 ; 0 ) et ( 0 ; 2). On note \(D\) le domaine (hachuré ci-dessous) délimité par :

  • la courbe \(C\) ,
  • l'axe des abscisses,
  • l'axe des ordonnées,
  • la droite d'équation : \(x = 2\).

  1. La fonction \(f\) est une solution de l'équation différentielle (E) :
    ( \(y\) désigne une fonction inconnue définie sur l' ensemble \(\mathbb{R}\) des nombres réels de variable \(x\) ; \(y'\) désigne la fonction dérivée de la fonction \(y\).)
    1. FAUX :\((E):y'-2y=0\) ,
    2. FAUX : \((E):2y'-y=0\),
    3. FAUX : \((E):y'-y=0\) ,
    4. VRAI : \((E):2y'+y=0\)
    En effet, deux méthodes sont possibles:
    • Méthode 1 :on reporte \(f(x)=2e^{-\frac{1}{2}x}\) dans chacune des équations différentielles.
    • Méthode 2: \(f(x)=2e^{-\frac{1}{2}x}\) est du type \(Ce^{ax}\) où \(a=-\frac{1}{2}\), donc est solution de \(y'=-\frac{1}{2}y\) soit \(2y'=-y\) soit enfin \(2y'+y=0\).
  2. La courbe \(C\) a pour asymptote la droite d'équation :
    1. FAUX : \(y=-2x\) ,
    2. FAUX : \(x=0\) ,
    3. VRAI : \(y=0\)
    On a \(\left.\begin{array}{r} \displaystyle\lim_{x\to +\infty} -\frac{1}{2}x= -\infty \\ \displaystyle\lim_{t\to -\infty}~ e^t =0 \end{array}\right\}\) par composée, \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}~f(x)=0\)
    Ayant \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}~f(x)=0\) ; la droite d'équation \(y=0\) est asymptote horizontale à \(C\) au voisinage de \(+\infty\)
  3. On note \(S\) le solide de révolution engendré par la rotation du domaine \(D\) autour de l'axe des abscisses. La valeur \(V\) du volume du solide \(S\) est donnée par :\(V=\pi\displaystyle\int_0^2\left [f(x)\right ]^2\;dx\) (en unités de volume).
    La valeur \(V\) du volume du solide \(S\),
    en \(cm^3\) est égale à :
    1. FAUX : \(4\pi\left (1-e^{-2}\right )\) ,
    2. FAUX : \(16\pi\left (1-e^{-2}\right )\) ,
    3. VRAI : \(32\pi\left (1-e^{-2}\right )\)
    4. Déjà on calcule \(\left [f(x)\right ]^2=4e^{-x}\) en effet \(\left (e^a\right )^2=e^{2a}\).
      Puis une primitive de \(G\) de \(g\) définie par \(g(x)= 4e^{-x}\) est \(G(x)=-4e^{-x}\)
      \(x\mapsto e^{ax}\) a pour primitives \(x\mapsto \dfrac{1}{a}e^{ax}+C\)
      Alors \(V=\pi \left [-4e^{-x}\right ]_0^2 u.v.=\pi \times 4\left (1-e^{-2}\right )u.v.\)
      Ici \(1 \;u.v.=(2cm)^3=8\;cm^3\), ainsi \(V=8\times4\pi\left (1-e^{-2}\right )\; cm^3=32\pi\left (1-e^{-2}\right )\; cm^3\)

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