Sujet Oral TSTI2D 10

oui
oui
STI2D
Année 2014
Nombres complexes,Equations différentielles
 

Oral 10 STI2D

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!

 



Exercice Cet exercice est un vrai/faux : il s'agit donc de préciser si chacune des affirmations proposées est vraie ou fausse. Pour chaque affirmation, le candidat donnera la réponse sur sa copie en écrivant en toutes lettres « vrai » ou « faux ». Les questions 1., 2., 3. sont indépendantes.
  1. On considère le polynôme \(P\) défini pour tout réel \(x\) par \(P(x)=(x-1)(x-3)(2x+3)\)
    1. L'équation \(P(x)=0\) admet dans \(\mathbb{R}\) trois solutions qui sont 1, 3 et \(-\frac{3}{2}\)
    2. Pour tout réel \(x,P(x)=2x^3-5x^2-6x\) .
    3. L'équation \((e^x-1)(e^x-3)(2e^x+3)=0\) admet trois solutions dans \(\mathbb{R}\) .
  2. Dans l'ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes, \(i\) désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument \(\frac{\pi}{2}\) . On considère les nombres \(z_1=\sqrt 2+\sqrt 2 i\) et \(z_2=\sqrt 2-\sqrt 2 i\)
    1. Les nombres \(z_1\) et \(z_2\) sont solutions dans \(\mathbb{C}\) de l'équation \(z^2-2\sqrt 2 z+4=0\) .
    2. Un argument de \(z_2\) est \(\frac{-3\pi}{4}\)
    3. Le module de \(z_1\) est \(\sqrt 2\) .
  3. Soit l'équation différentielle \((E)\) : \(4y''+49y=0\) dans laquelle l'inconnue \(y\) est une fonction de la variable réelle \(x\) définie et deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\), et \(y''\) sa dérivée seconde.
    1. La fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=A\cos\left (\dfrac{7x}{2}\right )+B\sin\left (\dfrac{7x}{2}\right )\) ,où \(A\) et \(B\) sont deux constantes réelles, est solution de \((E)\).
    2. La fonction \(h\) définie pour tout réel \(x\) par \(h(x)=3\cos\left (\dfrac{7x}{2}-\dfrac{3\pi}{4}\right )\) est solution de \((E)\).
    3. La fonction \(k\) définie pour tout réel \(x\) par \(k(x)=\sqrt 2\cos\left (\dfrac{7x}{2}\right )-\sqrt 2\sin\left (\dfrac{7x}{2}\right )\) est la solution de (E) qui vérifie \(k(0)=\sqrt2\) et \(k'(0)=0\).

Correction Oral 10 STI2D

Exercice

Cet exercice est un vrai/faux : il s'agit donc de préciser si chacune des affirmations proposées est vraie ou fausse. Pour chaque affirmation, le candidat donnera la réponse sur sa copie en écrivant en toutes lettres « vrai » ou « faux ». Les questions 1., 2., 3. sont indépendantes.

  1. On considère le polynôme \(P\) défini pour tout réel \(x\) par \(P(x)=(x-1)(x-3)(2x+3)\)
    1. L'équation \(P(x)=0\) admet dans \(\mathbb{R}\) trois solutions qui sont 1, 3 et \(-\frac{3}{2}\)
      VRAI ! \(P(x)=(x-1)(x-3)(2x+3)=0 \Leftrightarrow (x-1)=0 \text{ ou } (x-3)=0 \text{ ou } (2x+3)=0 \Leftrightarrow x=1 \text{ ou } x=3 \text{ ou } x=-\frac{3}{2}\)
    2. Pour tout réel \(x,P(x)=2x^3-5x^2-6x\) .
      FAUX ! On développe : \[P(x)=(x-1)(x-3)(2x+3)\]\[P(x)=(x^2-4x+3)(2x+3)\]\[P(x)= 2x^3-8x^2+6x+3x^2-12x+9\]\[P(x)= 2x^3-5x^2-6x+9\]
    3. L'équation \((e^x-1)(e^x-3)(2e^x+3)=0\) admet trois solutions dans \(\mathbb{R}\) .
      \[(1) \Leftrightarrow(e^x-1)(e^x-3)(2e^x+3)=0 \]\[(1) \Leftrightarrow (e^x-1)=0 \text{ ou } (e^x-3)=0 \text{ ou } (2e^x+3)=0\]\[(1) \Leftrightarrow e^x=1 \text{ ou } e^x=3 \text{ ou } e^x=-\frac{3}{2}\]\[(1) \Leftrightarrow x=\ln 1 \text{ ou } x=\ln 3 \]L'équation \(e^x=-\frac{3}{2}\) n'a pas de solution car pour tout réel \(x\) on a \(e^x>0\)

      L'équation \((e^x-1)(e^x-3)(2e^x+3)=0\) admet deux solutions dans \(\mathbb{R}\): 0 et \(\ln 3\) .

  2. Dans l'ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes, \(i\) désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument \(\frac{\pi}{2}\) . On considère les nombres \(z_1=\sqrt 2+\sqrt 2 i\) et \(z_2=\sqrt 2-\sqrt 2 i\)
    1. Les nombres \(z_1\) et \(z_2\) sont solutions dans \(\mathbb{C}\) de l'équation \(z^2-2\sqrt 2 z+4=0\) .

    2. VRAI ! On calcule \(\Delta =b^2-4ac=\left (2\sqrt 2\right )^2-4\times 1\times 4=-8\)
      Comme \(\Delta < 0\), l'équation a deux racines complexes conjuguées:
      \(z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}=\dfrac{2\sqrt 2+ i2\sqrt 2}{2}= \sqrt{2}+ \text{i}\sqrt 2\) et \(z_2=\bar{z_1}=\sqrt{2}- \text{i}\sqrt 2\)

      Les solutions sont \(\sqrt{2}+ \text{i}\sqrt 2\) et \(\sqrt{2}- \text{i}\sqrt 2\)

    3. Un argument de \(z_2\) est \(\frac{-3\pi}{4}\)
      FAUX ! On calcule son module :\(\left |z_{2}\right |=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\left ( \sqrt{2} \right )^2+\left ( \sqrt{2} \right )^2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\)
      On détermine un argument en calculant :
      \(\left \{ \begin{array}{rcl} \cos\theta& = & \dfrac{a}{r}=\dfrac{ \sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin\theta& = & \dfrac{b}{r}=\dfrac{- \sqrt{2}}{2} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \right.\)
      Par lecture sur le cercle trigonométrique \(\theta=-\frac{\pi}{4}\)

      Le nombre complexe \(z_{2} = -3\sqrt{3} - 3\text{i}\) a pour module et argument respectivement : 2 et \(-\frac{\pi}{4}\)

    4. Le module de \(z_1\) est \(\sqrt 2\) .
      FAUX ! On calcule son module :\(\left |z_{1}\right |=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\left ( \sqrt{2} \right )^2+\left ( \sqrt{2} \right )^2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\)
  3. Soit l'équation différentielle \((E)\) : \(4y''+49y=0\) dans laquelle l'inconnue \(y\) est une fonction de la variable réelle \(x\) définie et deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\), et \(y''\) sa dérivée seconde.
    1. La fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=A\cos\left (\dfrac{7x}{2}\right )+B\sin\left (\dfrac{7x}{2}\right )\) ,où \(A\) et \(B\) sont deux constantes réelles, est solution de \((E)\).

    2. Vrai !
      Les solutions de l'équation différentielle \(y''+\omega ^2 y=0\) sont les fonctions \(f\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=A\cos\left (\omega x\right )+B\sin\left (\omega x\right )\) ,où \(A\) et \(B\) sont deux constantes réelles.


      L'équation \((E)\) se met sous la forme précédente en la visant par 4. \(y''+ \dfrac{49}{4} y=0\) soit de la forme \(y''+\omega ^2 y=0\) où \(\omega ^2=\dfrac{49}{4}\); on prend donc \(\omega =\dfrac{7}{2}\).
      Donc la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=A\cos\left (\dfrac{7x}{2}\right )+B\sin\left (\dfrac{7x}{2}\right )\) ,où \(A\) et \(B\) sont deux constantes réelles, est solution de \((E)\).
    3. La fonction \(h\) définie pour tout réel \(x\) par \(h(x)=3\cos\left (\dfrac{7x}{2}-\dfrac{3\pi}{4}\right )\) est solution de \((E)\).

    4. On calcule \(h'(x)=3\times\left (-\dfrac{7}{2}\right ) \sin\left (\dfrac{7x}{2}-\dfrac{3\pi}{4}\right )\)
      puis \(h''(x)=3\times\left (-\dfrac{7}{2}\right )\times \left (\dfrac{7}{2}\right )\cos\left (\dfrac{7x}{2}-\dfrac{3\pi}{4}\right )=-\dfrac{147}{4}\cos\left (\dfrac{7x}{2}-\dfrac{3\pi}{4}\right )\)

      On a utilisé \((\cos u)'=-u' \sin u \) et \((\sin u)'= u' \cos u \)

      On a alors \(4h''(x)+49h(x)= 4\times \left (-\dfrac{147}{4}\right )\cos\left (\dfrac{7x}{2}-\dfrac{3\pi}{4}\right )+49\times 3\cos\left (\dfrac{7x}{2}-\dfrac{3\pi}{4}\right )\)
      \(4h''(x)+49h(x) =-147\cos\left (\dfrac{7x}{2}-\dfrac{3\pi}{4}\right )+147\cos\left (\dfrac{7x}{2}-\dfrac{3\pi}{4}\right )=0\)


      Ayant \(4h''(x)+49h(x)=0\); on a prouvé que \(h\) est une solution de \((E)\).

    5. La fonction \(k\) définie pour tout réel \(x\) par \(k(x)=\sqrt 2\cos\left (\dfrac{7x}{2}\right )-\sqrt 2\sin\left (\dfrac{7x}{2}\right )\) est la solution de (E) qui vérifie \(k(0)=\sqrt2\) et \(k'(0)=0\).

    6. Ayant \(k(x)=\sqrt 2\cos\left (\dfrac{7x}{2}\right )-\sqrt 2\sin\left (\dfrac{7x}{2}\right )\); on calcule \(k(0)=\sqrt 2\cos0=\sqrt 2\)
      puis \(k'(x)=\sqrt 2\times \dfrac{7}{2}\sin\left (\dfrac{7x}{2}\right )-\sqrt 2\times \dfrac{7}{2}\cos\left (\dfrac{7x}{2}\right )\)
      donc \(k'(0)=-\dfrac{7\sqrt 2}{2} \)


      Faux! puisque la condition \(k'(0)=0\) n'est pas réalisée.
 

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