Sujet Oral TSTI2D 09

oui
oui
STI2D
Année 2014
Equations différentielles

Oral 9 STI2D

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!

 


Exercice A. Résolution d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle (E):\(y'+y=-x-1\) ; où \(y\) désigne une fonction de la variable \(x\), définie et dérivable sur l'ensemble des réels \(\mathbb{R}\) .

  1. Résoudre l'équation différentielle \(y'+y=0\) .
  2. Déterminer la solution \(h\) de cette équation différentielle \(y' + y = 0\) prenant la valeur \(\dfrac{1}{e}\) en \(x = 1\).
  3. Déterminer le nombre réel \(a\) tel que la fonction \(u\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(u(x)=e^{-x}+ax\) soit solution de l'équation différentielle (E).
  4. Soit \(g\) la fonction définie pour tout nombre réel \(x\) par \(g(x)=3e^x+2x-4\) .
  5. Vérifier que \(g\) est solution de l'équation différentielle \(g'(x)-g(x)=6-2x\) .
 
 

Correction Oral 9 STI2D

Exercice

A. Résolution d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle (E):\(y'+y=-x-1\) ; où \(y\) désigne une fonction de la variable \(x\), définie et dérivable sur l'ensemble des réels \(\mathbb{R}\) .

  1. Résoudre l'équation différentielle \(y'+y=0\) .

  2. \(y'+y=0\) s'écrit \(y'=-y\); elle est donc de la forme \(y'=ay\) où \(a=-1\).

    Les solutions de l'équation différentielle \(y'=ay\) sont les fonctions \(f\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=Ce^{ax}\) où \(C\) désigne une constante réelle quelconque.

    Ici \(a=-1\), donc :

    \(f(x)=Ce^{-x}\) où \(C\) désigne une constante réelle quelconque.
  3. Déterminer la solution \(h\) de cette équation différentielle \(y' + y = 0\) prenant la valeur \(\dfrac{1}{e}\) en \(x = 1\).
    Déjà \(h(x)=Ce^{-x}\)
    \(h\left (1\right )=\dfrac{1}{e}\Leftrightarrow C e^{-1}=\dfrac{1}{e} \Leftrightarrow C \times \dfrac{1}{e}=\dfrac{1}{e} \Leftrightarrow C=1\)

    La solution \(h\) de cette équation différentielle \(y' + y = 0\) prenant la valeur \(\dfrac{1}{e}\) en \(x = 1\) est définie par \(h(x)=e^{-x}\) .


  4. Déterminer le nombre réel \(a\) tel que la fonction \(u\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(u(x)=e^{-x}+ax\) soit solution de l'équation différentielle (E).
    Calculons \(u(x)=-e^{-x}+a\)

    Attention \((e^u)'=u'e^u\)

    \(u\) est solution de (E) ssi pour tout réel \(x\) on a : \[u'(x)+u(x)=-x-1\]\[-e^{-x}+a+e^{-x}+ax=-x-1\]\[ a +ax=-x-1\]\[a=-1\]

    La fonction \(u\) définie par \(u(x)=e^{-x}-x\) est une solution de (E).

  5. Soit \(g\) la fonction définie pour tout nombre réel \(x\) par \(g(x)=3e^x+2x-4\) . Vérifier que \(g\) est solution de l'équation différentielle \(g'(x)-g(x)=6-2x\) .

  6. On calcule \(g'(x)=3e^x+2\);
    On forme \(g'(x)-g(x)=3e^x+2-\left (3e^x+2x-4\right )=6-2x\)

    Pour tout réel \(x\) on a bien \(g'(x)-g(x)=6-2x\).

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