Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL Antilles-Guyane 16 juin 2017 Suites, exponentielles, équation différentielle

oui
non
STI2D
Année 2017
Antilles Guyanne
Suites,Fonction exp,Equations différentielles

Exercice 2 7 points


Suites, exponentielles, équation différentielle

En 1648, Blaise Pascal a demandé à son beau-frère Florin Périer de mesurer la hauteur de mercure dans deux baromètres, l'un situé à Clermont-Ferrand et l'autre en haut de la montagne la plus proche, le Puy-de-Dôme. Florin Périer a constaté que la hauteur de mercure dans le baromètre situé en haut du Puy-de-Dôme était inférieure à la hauteur de mercure dans le baromètre situé plus bas, à Clermont-Ferrand. Cette expérience a permis de montrer que la pression atmosphérique diminue lorsque l’altitude augmente.
Dans cet exercice, la pression atmosphérique est exprimée en hectopascal (hPa) .
On rappelle que la pression atmosphérique vaut \( 1013,25\; hPa \) au niveau de la mer.

Partie A : Une règle simplifiée


Pour évaluer la pression atmosphérique, les alpinistes utilisent la règle simplifiée suivante : « la pression atmosphérique diminue de \(0,11\) hectopascal quand l’altitude augmente de 1 mètre ».

  1. Recopier et compléter le tableau suivant en utilisant cette règle : 
    altitude(en mètre) 0 800 1500 2000
    pression atmosphérique (en hPa) 1013,25      
  2. Pour tout entier naturel \(n\), on note \(u_n\) la pression atmosphérique en hPa à l’altitude de \(n\) mètres calculée avec la règle simplifiée. Ainsi \(u_0 =1 013,25\).
    1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
    2. Justifier que la suite \(\left(u_n\right)\) n’est pas géométrique.
    3. On admet que pour tout entier naturel \(n,\ u_n = u_0 - 0,11 n\). En déduire l’altitude, exprimée en mètre, à partir de laquelle la pression atmosphérique est inférieure à \(950\; hPa\) .

 

Partie B : La formule barométrique


On considère l’équation différentielle (E) : \[y' + 0,12 y = 0\]où \(y\) est une fonction de la variable réelle \(x\), définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(y'\) est la fonction dérivée de \(y\). Pour de faibles valeurs de l’altitude, les scientifiques ont démontré que la fonction \(f\) qui, à l’altitude \(x\) en kilomètre , associe la pression atmosphérique en hectopascal est la solution de l’équation différentielle (E) qui vérifie \(f(0) = 1013,25 \) .

    1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E).
    2. Démontrer que la solution \(f\) de l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale \(f(0)= 1 013,25\) est la fonction définie sur \([0~;~+\infty[\) par : \[f(x)= 1013.25 \text{e}^{-0,12x}\]
  1. En utilisant la fonction \(f\) :
    1. Calculer une valeur approchée à \(0,01\) près de la pression atmosphérique à 150 mètres d’altitude.
    2. Calculer l’altitude, arrondie au mètre, correspondant à une pression atmosphérique de \(900 \; hPa\) .
  2. On pose \(v_n = f(n)\), pour tout entier naturel \(n\). Justifier qu’avec ce modèle, la suite \(\left(v_n\right)\) est géométrique.

 

Partie C : La formule du nivellement barométrique


La formule de la partie B ne tient pas compte des changements de température et ne peut donc être utilisée que pour de faibles altitudes. Pour des altitudes plus élevées, on utilise la fonction \(p\) qui à l’altitude \(x\) en kilomètre associe la pression atmosphérique en hPa : \[p(x)= 1013,25 \left(1-\dfrac{6,5x}{288,15}\right)^{ 5.255 }\]

  1. Calculer la pression atmosphérique (en hPa, arrondie à l’unité) au sommet de l’Everest dont l’altitude est 8848 mètres.
  2. Recopier et compléter l’algorithme suivant en utilisant la fonction \(p\), de façon à ce qu’il affiche en sortie l’altitude (estimée à \(100\) mètres près) à partir de laquelle la pression atmosphérique est inférieure à 400 hPa. \[ \begin{array}{|ll|} \hline \text{Variables} &A \text{ un nombre réel }\\ &P \text{ un nombre réel}\\ \text{Début}& \\ & A \text{ prend la valeur 0}\\ & P \text{ prend la valeur 1013.25}\\ & \text{Tant que} \dots \text{faire}\\ &\hspace{4em} \begin{array}{|l} A \text{ prend la valeur } A + 0,1 \\ P \text{ prend la valeur } \dots\\ \end{array}\\ &\text{Fin tant que}\\ &\text{ Afficher } \dots\\ &\text{Fin}\\ \hline \end{array}\]

     

Correction de l'exercice 2 (5 points)


Suites, exponentielles, équation différentielle

En 1648, Blaise Pascal a demandé à son beau-frère Florin Périer de mesurer la hauteur de mercure dans deux baromètres, l'un situé à Clermont-Ferrand et l'autre en haut de la montagne la plus proche, le Puy-de-Dôme. Florin Périer a constaté que la hauteur de mercure dans le baromètre situé en haut du Puy-de-Dôme était inférieure à la hauteur de mercure dans le baromètre situé plus bas, à Clermont-Ferrand. Cette expérience a permis de montrer que la pression atmosphérique diminue lorsque l’altitude augmente.
Dans cet exercice, la pression atmosphérique est exprimée en hectopascal (hPa) .
On rappelle que la pression atmosphérique vaut \( 1013,25\; hPa \) au niveau de la mer.

Partie A : Une règle simplifiée


Pour évaluer la pression atmosphérique, les alpinistes utilisent la règle simplifiée suivante : « la pression atmosphérique diminue de \(0,11\) hectopascal quand l’altitude augmente de 1 mètre ».

  1. Recopier et compléter le tableau suivant en utilisant cette règle : 
    altitude(en mètre) 0 800 1500 2000
    pression atmosphérique (en hPa) 1013,25      
  2. Pour tout entier naturel \(n\), on note \(u_n\) la pression atmosphérique en hPa à l’altitude de \(n\) mètres calculée avec la règle simplifiée. Ainsi \(u_0 =1 013,25\).
    1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
    2. \(u_1=1013,25-0,11\times 1=1013,14 \) et \(u_2=1013,25-0,11\times 2=1013,03\)
      Ainsi, \(u_1=1013,14\) et \(u_2=1013,03\).
    3. Justifier que la suite \(\left(u_n\right)\) n’est pas géométrique.
    4. \(\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{1013,14}{1013,25}\); \(\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{1013,03}{1013,14}\) et \(1013,14^2\neq 1013,25\times 1013,03\) \(\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}\) donc la suite \(\left(u_n\right)\) n'est pas géométrique.
      \(\left(u_n\right)\) est une suite arithmétique de raison \(r=-0,11\) et de premier terme \(u_0=1013,25\).
    5. On admet que pour tout entier naturel \(n,\ u_n = u_0 - 0,11 n\). En déduire l’altitude, exprimée en mètre, à partir de laquelle la pression atmosphérique est inférieure à \(950\; hPa\) .
    6. On cherche le plus petit entier \(n\) solution de l'inéquation :\(1013,25-0,11⁢n<950\) \[\begin{array}{rll} u_n < 950 & \iff 1013,25-0,11⁢n<950& \text{ en ajoutant } -1013,25\\ & \iff -0,11⁢n < < 950-1013,25 &\\ &\iff -0,11n < -63,25 &\\ & \iff n > \dfrac{-63,25}{-0,11} \text{ en divisant par } -0,11< 0& \\ &\iff n > 575 &\\ \end{array}\]Au dessus de 575 mètres, la pression atmosphérique est inférieure à 950 hPa.

 

Partie B : La formule barométrique


On considère l’équation différentielle (E) : \[y' + 0,12 y = 0\]où \(y\) est une fonction de la variable réelle \(x\), définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(y'\) est la fonction dérivée de \(y\). Pour de faibles valeurs de l’altitude, les scientifiques ont démontré que la fonction \(f\) qui, à l’altitude \(x\) en kilomètre , associe la pression atmosphérique en hectopascal est la solution de l’équation différentielle (E) qui vérifie \(f(0) = 1013,25 \) .

    1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E).
    2. On met l'équation différentielle sous forme résolue : \(y'=a y\) \[\begin{array}{rl} y' + 0,12y = 0&\iff y'= -0.12 y \end{array}\]Les solutions de l'équation différentielle \(y′=-0,12⁢y \) sont les fonctions définies pour tout réel \(t\) par \(t\mapsto k⁢\text{e}^{—0,12⁢x}\) où \(k\) est une constante réelle quelconque.
    3. Démontrer que la solution \(f\) de l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale \(f(0)= 1 013,25\) est la fonction définie sur \([0~;~+\infty[\) par : \[f(x)= 1013.25 \text{e}^{-0,12x}\]
    4. La condition \(f⁡(0)=1 013,25\) équivaut à \(k\text{e}^0=1 013,25\) d'où \(k=1 013,25\)
      Ainsi, la fonction \(f\) est définie sur \([0;+\infty[\) par \(f⁡(x)=1 013,25\text{e}^{—0,12⁢x}\).
  1. En utilisant la fonction \(f\) :
    1. Calculer une valeur approchée à \(0,01\) près de la pression atmosphérique à 150 mètres d’altitude.
    2. 150m=0,15km et,
      \(f(⁡0,15)=1013,25\text{e}^{-0,12⁢\times 0,15}\approx 995,18\)
      Arrondie à 0,01 près de la pression atmosphérique à 150 mètres d'altitude est de 995,18 hPa.
    3. Calculer l’altitude, arrondie au mètre, correspondant à une pression atmosphérique de \(900 \; hPa\) .
    4. L'altitude \(x\) en kilomètre, correspondant à une pression atmosphérique de 900 hPa est solution de l'équation \(f⁡(x)=900\).
      Soit : \[\begin{array}{rll} f(x)= 900& \iff 1013,25 \text{e}^{-0.12 x} =900&\\ & \iff \text{e}^{-0.12 x} = \dfrac{900}{1013,25}&\text{ en divisant par } 1013,25 \\ & \iff \ln \left( \text{e}^{-0.12 x }\right) =\ln \left( \dfrac{900}{1013,25}\right) & \text{ car } \ln \text{ est strictement croissante sur } ]0;+\infty[ \\ & \iff -0,12 x =\ln \left( \dfrac{900}{1013,25}\right) & \text{ car } \ln\left( \text{e}^{a}\right) = a \\ & x= -\dfrac{ \ln \left( \dfrac{900}{1013,25}\right)}{0,12}& \text{ car on a divisé par } -0,12 < 0\\ \end{array}\]\(-\dfrac{ \ln \left( \dfrac{900}{1013,25}\right) }{0,12}\approx 0,988\) Arrondie au mètre près, l'altitude correspondant à une pression atmosphérique de 900 hPa est de 988 mètres.
  2. On pose \(v_n = f(n)\), pour tout entier naturel \(n\). Justifier qu’avec ce modèle, la suite \(\left(v_n\right)\) est géométrique.

 

Partie C : La formule du nivellement barométrique


La formule de la partie B ne tient pas compte des changements de température et ne peut donc être utilisée que pour de faibles altitudes. Pour des altitudes plus élevées, on utilise la fonction \(p\) qui à l’altitude \(x\) en kilomètre associe la pression atmosphérique en hPa : \[p(x)= 1013,25 \left(1-\dfrac{6,5x}{288,15}\right)^{ 5.255 }\]

  1. Calculer la pression atmosphérique (en hPa, arrondie à l’unité) au sommet de l’Everest dont l’altitude est 8848 mètres.
  2. \(p⁡(8,848)=1 013,25⁢1-6,5\times 8,848288,155,255\approx 315\)
    Arrondie à l'unité, la pression atmosphérique au sommet de l'Everest est de 315 hPa.
  3. Recopier et compléter l’algorithme suivant en utilisant la fonction \(p\), de façon à ce qu’il affiche en sortie l’altitude (estimée à \(100\) mètres près) à partir de laquelle la pression atmosphérique est inférieure à 400 hPa. \[ \begin{array}{|ll|} \hline \text{Variables} &A \text{ un nombre réel }\\ &P \text{ un nombre réel}\\ \text{Début}& \\ & A \text{ prend la valeur 0}\\ & P \text{ prend la valeur 1013.25}\\ & \text{Tant que} \dots \text{faire}\\ &\hspace{4em} \begin{array}{|l} A \text{ prend la valeur } A + 0,1 \\ P \text{ prend la valeur } \dots\\ \end{array}\\ &\text{Fin tant que}\\ &\text{ Afficher } \dots\\ &\text{Fin}\\ \hline \end{array}\]
  4. \[ \begin{array}{|ll|} \hline \text{Variables} &A \text{ un nombre réel }\\ &P \text{ un nombre réel}\\ \text{Début}& \\ & A \text{ prend la valeur 0}\\ & P \text{ prend la valeur 1013.25}\\ & \text{Tant que} \color{red}{P\geq 400} \text{ faire}\\ &\hspace{4em} \begin{array}{|l} A \text{ prend la valeur } A + 0,1 \\ P \text{ prend la valeur } \color{red}{1013,25 \left(1-\dfrac{6,5\times A}{288,15}\right)^{ 5.255 }}\\ \end{array}\\ &\text{Fin tant que}\\ &\text{ Afficher } \color{red} A\\ &\text{Fin}\\ \hline \end{array}\]

 

 

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