Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014 : QCM

oui
non
S
Année 2014
Nouvelle Calédonie
Nombres complexes,Fonction ln,Fonction exp
 

Exercice 2 5 points


Commun à tous les candidats


Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si chacune d'elles est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
Dans les questions 1. et 2. , le plan est rapporté au repère orthonormé direct \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\). On désigne par \(\mathbb R\) l'ensemble des nombres réels.

  1. Affirmation 1 : Le point d'affixe \((-1 + \text{i})^{10}\) est situé sur l'axe imaginaire.
  2. Affirmation 2 : Dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation \[z - \overline{z} +2 - 4\text{i} = 0\]admet une solution unique.
  3. Affirmation 3 : \(\ln \left(\sqrt{\text{e}^7} \right) + \dfrac{\ln \left(\text{e}^9 \right)}{\ln \left(\text{e}^2 \right)} = \dfrac{\text{e}^{\ln 2 + \ln 3}}{\text{e}^{\ln 3 - \ln 4}}\)
  4. Affirmation 4 : \(\displaystyle\int_0^{\ln 3} \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 2}\:\text{d}x = - \ln \left(\dfrac{3}{5}\right)\)
  5. Affirmation 5 : L'équation \(\ln(x - 1) - \ln(x + 2) = \ln 4\) admet une solution unique dans \(\mathbb R\).
 

Correction de l'exercice 2 (5 points)


Commun à tous les candidats


Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si chacune d'elles est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
Dans les questions 1. et 2. , le plan est rapporté au repère orthonormé direct \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\). On désigne par \(\mathbb R\) l'ensemble des nombres réels.

  1. Affirmation 1 : Le point d'affixe \((-1 + \text{i})^{10}\) est situé sur l'axe imaginaire.
  2. \(|-1 + \text{i}| = \sqrt{2}\) donc \(-1 + \text{i} = \sqrt{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{i}\right) = \sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}3\pi/4}\)
    Un argument de \((-1 + \text{i})^{10}\) est donc \(- \dfrac{3\pi}{4} \times 10 = -\dfrac{15\pi}{2}\).
    Le nombre \((-1 + \text{i})^{10}\) est donc un imaginaire pur.
    Affirmation vraie
  3. Affirmation 2 : Dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation \[z - \overline{z} +2 - 4\text{i} = 0\]admet une solution unique.
  4. On note \(z = x + \text{i}z\) un nombre complexe. On a alors \(z – \overline{z} = 2y\text{i}\).
    L’équation \(z-\overline{z} + 2 – 4\text{i} = 0\) est donc équivalente à \(2y\text{i} + 2 -4\text{i} = 0\) qui ne possède aucune solution.
    Affirmation fausse
  5. Affirmation 3 : \(\ln \left(\sqrt{\text{e}^7} \right) + \dfrac{\ln \left(\text{e}^9 \right)}{\ln \left(\text{e}^2 \right)} = \dfrac{\text{e}^{\ln 2 + \ln 3}}{\text{e}^{\ln 3 - \ln 4}}\)
  6. \[\begin{array}{ll} \ln \left(\sqrt{\text{e}^7}\right) + \dfrac{\ln\left(\text{e}^9\right)}{\ln\left(\text{e}^2\right)} &= \dfrac{1}{2}\ln\left(\text{e}^7\right) + \dfrac{9}{2} \\ &= \dfrac{7}{2} + \dfrac{9}{2} \\ &=\dfrac{16}{2} \\&=8 \end{array}\]\[\begin{array}{ll} \dfrac{\text{e}^{\ln 2 + \ln 3}}{\text{e}^{\ln 2 – \ln 4}} & = \dfrac{\text{e}^{\ln 2} \times \text{e}^{\ln 3}}{\dfrac{\text{e}^{\ln 2}}{\text{e}^{\ln 4}}} \\ &= \dfrac{2 \times 3}{\dfrac{2}{4}}\\&= 12 \\ \end{array}\]
    Affirmation fausse
  7. Affirmation 4 : \(\displaystyle\int_0^{\ln 3} \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 2}\:\text{d}x = - \ln \left(\dfrac{3}{5}\right)\)
  8. Une primitive de la fonction \(f\) définie sur \(\left[0;\ln 3\right]\) par \(f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 2}\) est la fonction \(F\) définie sur le même intervalle par \(F(x) = \ln \left(\text{e}^x + 2\right)\)
    On a ainsi :
    \[\begin{array}{ll} I = \displaystyle \int_0^{\ln 3} \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 2}\text{d}x & = F(\ln 3) – F(0) \\ &= \ln\left(\text{e}^{\ln3} + 2\right) – \ln 2 \\
    &=\ln 5 – \ln 2 \\ &= \ln \left(\dfrac{5}{2}\right) \\ &= -\ln\left(\dfrac{2}{5}\right) \end{array}\]
    Affirmation vraie
  9. Affirmation 5 : L'équation \(\ln(x - 1) - \ln(x + 2) = \ln 4\) admet une solution unique dans \(\mathbb R\).
  10. Les solutions de l’équation doivent vérifier \(x – 1> 0\) et \(x + 2> 0\) soit \(x > 1\).
    \[\begin{array}{ll} \ln(x – 1) – \ln(x + 2) = \ln 4 & \Leftrightarrow \ln \dfrac{x – 1}{x + 2} = \ln 4 \quad \text{et } x > 1\\ & \Leftrightarrow \dfrac{x-1}{x+2} = 4 \quad \text{et } x > 1 \\ & \Leftrightarrow x – 1 = 4(x + 2) \quad \text{et } x > 1 \\ & \Leftrightarrow 3x = -9 \quad \text{et } x > 1 \\ & \Leftrightarrow x = -3 \quad \text{et } x > 1 \end{array}\]
    L’équation ne possède donc pas de solution dans \(\mathbb R\)
    Affirmation fausse

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